Линейная функция 7 класс .3. Постройте график функции y = { 2,5x - 1 при x < 1, -2,5x + 4 при 1≤x≤3, 1,5x - 8 при x > 3. } Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Привет! Давай построим график этой кусочной функции и найдем нужные значения m.

1. Строим график:

Найдем опорные точки для каждого участка:

• Для y = 2,5x - 1 (при x < 1):
  • Берем точку, близкую к 1, например, x = 0. y = 2,5 * 0 - 1 = -1. Точка (0, -1).
  • Возьмем x = -1. y = 2,5 * (-1) - 1 = -2,5 - 1 = -3,5. Точка (-1, -3.5).

  Рисуем луч, проходящий через эти точки, но останавливаемся перед x = 1.

• Для y = -2,5x + 4 (при 1 ≤ x ≤ 3):
  • При x = 1: y = -2,5 * 1 + 4 = -2,5 + 4 = 1,5. Точка (1, 1.5).
  • При x = 3: y = -2,5 * 3 + 4 = -7,5 + 4 = -3,5. Точка (3, -3.5).

  Рисуем отрезок между (1, 1.5) и (3, -3.5).

• Для y = 1,5x - 8 (при x > 3):
  • Берем точку, близкую к 3, например, x = 4. y = 1,5 * 4 - 8 = 6 - 8 = -2. Точка (4, -2).
  • Возьмем x = 5. y = 1,5 * 5 - 8 = 7,5 - 8 = -0,5. Точка (5, -0.5).

  Рисуем луч, начинающийся от x = 3 (но не включая его) и проходящий через эти точки.

2. Определяем значения m:

Теперь ищем, при каких значениях m горизонтальная линия y = m будет пересекать наш график ровно в двух точках.

Взглянем на получившийся график:

• Если m = 1,5, прямая y = 1,5 пересекает график в точке (1, 1.5) и где-то на третьем участке (1.5x - 8 = 1.5 => 1.5x = 9.5 => x ≈ 6.33). То есть в двух точках.
• Если m находится между 1,5 и -3,5 (т.е. -3,5 < m < 1,5), прямая y = m будет пересекать график в двух точках: одну на первом луче и одну на отрезке.
• Если m = -3,5, прямая y = -3,5 пересекает график в точке (3, -3.5) и где-то на первом участке (2.5x - 1 = -3.5 => 2.5x = -2.5 => x = -1). То есть в двух точках.
• Если m < -3,5, прямая y = m будет пересекать только первый луч, то есть в одной точке.
• Если m > 1,5, прямая y = m будет пересекать только третий луч, то есть в одной точке.
• Если m находится между -3,5 и -2 (т.е. -3.5 < m < -2), прямая y = m будет пересекать первый и третий лучи, то есть в двух точках.

Итак, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда m находится в интервале (-3,5; 1,5) или когда m ∈ (-3,5; -2). Объединяя эти интервалы, получаем, что m ∈ (-3,5; 1,5).

Ответ: m ∈ (-3,5; 1,5)