5. log1(x² + 0,5x) ≤ 1. 2

5. Решим неравенство $$log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0.5x) \leq 1$$

Так как основание логарифма меньше 1, то при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$x^2 + 0.5x \geq (\frac{1}{2})^1$$

$$x^2 + 0.5x \geq \frac{1}{2}$$

$$x^2 + 0.5x - \frac{1}{2} \geq 0$$

$$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \geq 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$$

$$x_1 = \frac{-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{2} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{2} = -1$$

Решением неравенства является:

$$(-\infty; -1] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$$

Проверим область определения логарифма:

$$x^2 + 0.5x > 0$$

$$x(x + 0.5) > 0$$

$$x < -0.5$$ или $$x > 0$$

Решением является пересечение этих условий:

$$(-\infty; -1] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$$\cap($$(-\infty; -0.5) \cup (0; +\infty)$$) =

$$(- \infty; -1] \cup (0.5; + \infty)$$

Ответ: $$(-\infty; -1] \cup (0.5; + \infty)$$