1.64. Мальчик Петя провел домашний эксперимент. Он налил в кружку 200 мл воды (до краев) при температуре +20 °С. Затем отпил один маленький глоток (5 мл), тут же долил опять до краев в чашку кипяток и аккуратно перемешал содержимое чашки. Так он повторил эту процедуру много раз. Максимальная температура воды, которую Петя еще смог проглотить, не обжигаясь, равна +60°С. Сколько воды выпил Петя за весь эксперимент?

Для решения этой задачи нам потребуется использовать уравнение теплового баланса и учитывать, что Петя доливал кипяток (100°С) и отпивал воду, когда температура достигала 60°С. Пусть $$n$$ - количество раз, которое Петя повторил процедуру долива кипятка и отпития глотка. Каждый раз он доливает 5 мл кипятка и отпивает 5 мл. Обозначим: $$V_0$$ = 200 мл - начальный объем воды $$t_0$$ = 20°С - начальная температура воды $$V_{гл}$$ = 5 мл - объем глотка $$t_{кип}$$ = 100°С - температура кипятка $$t_{кон}$$ = 60°С - конечная температура Запишем уравнение теплового баланса для одного цикла: $$V_0 \cdot (t_{кон} - t_0) = V_{гл} \cdot (t_{кип} - t_{кон})$$ Подставим значения: $$200 \cdot (60 - 20) = 5 \cdot (100 - 60)$$ $$200 \cdot 40 = 5 \cdot 40$$ Это уравнение не совсем корректно отражает ситуацию, так как в нём не учитывается изменение объема воды после каждого добавления кипятка. Более точный подход заключается в рассмотрении энергетического баланса. Пусть $$x$$ - количество кипятка, которое нужно добавить, чтобы смесь нагрелась до 60°С. Тогда: $$(200 \cdot 4200 \cdot (60 - 20)) + (x \cdot 4200 \cdot (60 - 100)) = 0$$ $$200 \cdot 40 + x \cdot (-40) = 0$$ $$8000 - 40x = 0$$ $$40x = 8000$$ $$x = 200 \text{ мл}$$ Чтобы нагреть 200 мл воды от 20°С до 60°С, нужно добавить 200 мл кипятка, что явно не соответствует условию задачи. Другой подход: Предположим, что каждый раз, когда Петя доливает 5 мл кипятка, общая температура повышается на $$\Delta t$$. Тогда после $$n$$ циклов температура достигнет 60°C. $$t_0 + n \cdot \Delta t = t_{кон}$$ $$20 + n \cdot \Delta t = 60$$ $$n \cdot \Delta t = 40$$ Чтобы найти $$\Delta t$$, можно рассмотреть один цикл. При добавлении 5 мл кипятка в 200 мл воды, изменение температуры можно оценить: $$ \Delta t \approx \frac{V_{гл} \cdot (t_{кип} - t_0)}{V_0} = \frac{5 \cdot (100 - 20)}{200} = \frac{5 \cdot 80}{200} = \frac{400}{200} = 2 \text{ °C}$$ Теперь найдем $$n$$: $$n \cdot 2 = 40$$ $$n = 20$$ Петя повторил процедуру 20 раз. Каждый раз он выпивал 5 мл воды. Следовательно, общее количество выпитой воды равно: $$V_{общ} = n \cdot V_{гл} = 20 \cdot 5 = 100 \text{ мл}$$ Ответ: 100 мл