13. Марина загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 574. Какую цифру зачеркнула Марина? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd}$$. Тогда выполняется следующее: $$\overline{abcd} - (a+b+c+d) = \overline{xyzw}$$, где $$\overline{xyzw}$$ - некоторое четырехзначное число, у которого зачеркнули одну цифру, и получили 574. Так как из числа вычитается сумма его цифр, то полученное число делится на 9. Следовательно, $$\overline{xyzw}$$ делится на 9. Это означает, что сумма цифр числа $$\overline{xyzw}$$ делится на 9. У нас есть число 574. Предположим, что зачеркнутая цифра - это $$z$$. Тогда $$5+7+4+z$$ должно делиться на 9. $$5+7+4 = 16$$. Чтобы сумма $$16+z$$ делилась на 9, $$z$$ может быть равно 2. Проверим, если зачеркнули цифру 2 и получили 574, то число было 5742. $$5+7+4+2 = 18$$. 5742 делится на 9 (5742 / 9 = 638). Допустим зачеркнули цифру не в конце, а в другом месте, проверим: Если зачеркнули первую цифру: x74 => x+7+4 = x+11. Ближайшее число, делящееся на 9 - это 18, тогда x = 7. Число 7574, 7+5+7+4 = 23, 7574-23 = 7551. Не подходит. Если зачеркнули вторую цифру: 5y4 => 5+y+4 = y+9. y=0 или y=9. Числа 5074 и 5974. 5+0+7+4=16, 5074-16 = 5058. 5+9+7+4=25, 5974-25 = 5949. Не подходит. Значит, мы верно предположили, что зачеркнули цифру 2, и число было 5742. Ответ: 2