19 Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала т фотографий, а Наташа n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня. а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней? б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней? в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Решение:

Пусть девочки фотографировали k дней. Тогда Маша сделала m фотографий в первый день, а Наташа - n фотографий. Каждый следующий день количество фотографий увеличивалось на 1.

Сумма фотографий Маши за k дней:

$$S_M = m + (m + 1) + (m + 2) + ... + (m + k - 1) = k \cdot m + \frac{k(k - 1)}{2}$$.

Сумма фотографий Наташи за k дней:

$$S_N = n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + k - 1) = k \cdot n + \frac{k(k - 1)}{2}$$.

По условию, $$S_N - S_M = 1001$$, поэтому:

$$k \cdot n + \frac{k(k - 1)}{2} - (k \cdot m + \frac{k(k - 1)}{2}) = 1001$$.

$$k(n - m) = 1001$$.

a) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

Если k = 7, то $$7(n - m) = 1001$$, откуда $$n - m = \frac{1001}{7} = 143$$. Так как n и m - натуральные числа и $$n > m$$, это возможно.

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

Если k = 8, то $$8(n - m) = 1001$$, откуда $$n - m = \frac{1001}{8} = 125.125$$. Так как n и m - натуральные числа, разность между ними должна быть целым числом. Поэтому это невозможно.

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

В последний день Маша сделала $$m + k - 1$$ фотографий, поэтому $$m + k - 1 < 40$$.

Мы знаем, что $$k(n - m) = 1001$$. Разложим 1001 на простые множители: $$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$$. Возможные значения k: 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001.

$$n = m + \frac{1001}{k}$$. Сумма фотографий Наташи $$S_N = k \cdot n + \frac{k(k - 1)}{2} = k \cdot (m + \frac{1001}{k}) + \frac{k(k - 1)}{2} = k \cdot m + 1001 + \frac{k(k - 1)}{2}$$.

Так как $$m < 40 - k + 1 = 41 - k$$, то $$S_N < k(41 - k) + 1001 + \frac{k(k - 1)}{2}$$.

Найдем максимальное значение $$S_N$$ для каждого возможного k:

• k = 1: m < 40, S_N < 40 + 1001 + 0 = 1041.
• k = 7: m < 34, S_N < 7 * 34 + 1001 + 7 * 6 / 2 = 238 + 1001 + 21 = 1260.
• k = 11: m < 30, S_N < 11 * 30 + 1001 + 11 * 10 / 2 = 330 + 1001 + 55 = 1386.
• k = 13: m < 28, S_N < 13 * 28 + 1001 + 13 * 12 / 2 = 364 + 1001 + 78 = 1443.
• k = 77: m < -36, что невозможно.

Наибольшее возможное значение $$S_N$$ достигается при k = 13 и равно 1443.

Ответ: а) Могли, б) Не могли, в) 1443