18 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √1 - 2x = a – 7|x| имеет более двух корней.

Для решения этой задачи необходимо исследовать уравнение $$\sqrt{1 - 2x} = a - 7|x|$$. Уравнение имеет смысл при $$1 - 2x \ge 0$$, т.е. $$x \le \frac{1}{2}$$.

Рассмотрим два случая:

1) $$x \ge 0$$: Тогда уравнение имеет вид $$\sqrt{1 - 2x} = a - 7x$$. Перепишем уравнение как $$\sqrt{1 - 2x} + 7x = a$$.

2) $$x < 0$$: Тогда уравнение имеет вид $$\sqrt{1 - 2x} = a + 7x$$. Перепишем уравнение как $$\sqrt{1 - 2x} - 7x = a$$.

Определим функцию $$f(x) = \sqrt{1 - 2x} + 7x$$ при $$0 \le x \le \frac{1}{2}$$ и функцию $$g(x) = \sqrt{1 - 2x} - 7x$$ при $$x < 0$$.

Производная функции f(x) равна: $$f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - 2x}} + 7$$. Производная равна 0 при $$\sqrt{1 - 2x} = \frac{1}{7}$$, т.е. $$1 - 2x = \frac{1}{49}$$, откуда $$x = \frac{24}{49}$$.

Производная функции g(x) равна: $$g'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - 2x}} - 7 < 0$$ для всех $$x < 0$$. Следовательно, g(x) убывает.

Необходимо, чтобы уравнение имело более двух корней. Это означает, что a должно быть таким, чтобы график $$y = a$$ пересекал графики функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$ более чем в двух точках. Однако, учитывая характер функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$, добиться более двух корней сложно.

Функция $$f(x)$$ возрастает на промежутке $$\left[0, \frac{24}{49}\right]$$ и убывает на промежутке $$\left[\frac{24}{49}, \frac{1}{2}\right]$$. Максимум достигается в точке $$x = \frac{24}{49}$$, и $$f\left(\frac{24}{49}\right) = \sqrt{1 - \frac{48}{49}} + 7 \cdot \frac{24}{49} = \frac{1}{7} + \frac{168}{49} = \frac{1}{7} + \frac{24}{7} = \frac{25}{7}$$.

Функция $$g(x)$$ убывает на всем промежутке $$x < 0$$. При $$x = 0$$ функция $$g(0) = 1$$.

Чтобы уравнение имело более двух корней, необходимо, чтобы $$1 < a < \frac{25}{7}$$.

Ответ: $$1 < a < \frac{25}{7}$$