Маша создала последовательность треугольников из спичек, используя схему, показанную на рисунке. На один из треугольников ушло 165 спичек. Из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника?

Первый треугольник состоит из 3 спичек. Второй состоит из 3 + 6 = 9 спичек. Третий состоит из 9 + 9 = 18 спичек. Каждый следующий треугольник состоит из количества спичек предыдущего плюс 3 умноженное на номер предыдущего треугольника. Обозначим количество спичек в n-ом треугольнике как S(n). Тогда: $$S(n) = 3 + 6 + 9 + ... + 3n = 3(1 + 2 + 3 + ... + n) = 3 * \frac{n(n+1)}{2}$$ Нам известно, что для некоторого n, S(n) = 165. Решим уравнение относительно n: $$3 * \frac{n(n+1)}{2} = 165$$ $$\frac{n(n+1)}{2} = 55$$ $$n(n+1) = 110$$ $$n^2 + n - 110 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = 1^2 - 4 * 1 * (-110) = 1 + 440 = 441$$ Корни: $$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$ Так как n должно быть положительным числом (номер треугольника), то n = 10. Теперь определим, из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника. Поскольку это 10-ый треугольник, то каждая сторона состоит из 10 спичек. Ответ: 10