3 Математика. 11 класс. Вариант МА2510210 Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24. Площадь её поверхности равна 1380. Найдите боковое ребро призмы.

Площадь поверхности прямой призмы складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна половине произведения его катетов: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро призмы (h). Периметр основания равен сумме всех его сторон. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$

Периметр основания равен $$P = 10 + 24 + 26 = 60$$.

Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = P \cdot h = 60h$$.

Площадь всей поверхности равна: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 60h = 240 + 60h$$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна 1380. Составим уравнение:

$$240 + 60h = 1380$$

$$60h = 1380 - 240$$

$$60h = 1140$$

$$h = \frac{1140}{60} = 19$$

Боковое ребро призмы равно 19.

Ответ: 19