5. MC ⊥ ABC, AC = 13, BC = 15, AB = 14, MC = 16. Найдите d (M. AB).

Для решения задачи необходимо найти расстояние от точки M до прямой AB. Поскольку MC перпендикулярна плоскости ABC, то MC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

1. Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Тогда CK – высота треугольника ABC. Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:

$$p = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ $$S_{ABC} = \sqrt{p(p - AC)(p - BC)(p - AB)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 15)(21 - 14)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

2. Площадь треугольника ABC также можно выразить через основание AB и высоту CK:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$$ $$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot CK$$ $$CK = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$$

3. Так как MC перпендикулярна плоскости ABC, то MC перпендикулярна CK. Рассмотрим прямоугольный треугольник MCK (угол MCK = 90°). MC = 16, CK = 12. По теореме Пифагора найдем MK:

$$MK = \sqrt{MC^2 + CK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$

4. Так как K – основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB, то MK является расстоянием от точки M до прямой AB.

Ответ: 20