5. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.

Пусть AM - медиана треугольника ABC, и AM = BM. Тогда M - середина стороны BC, то есть BM = MC. Отсюда следует, что AM = BM = MC.

Обозначим ∠BAM = α и ∠MAC = γ.

Так как AM = BM, то треугольник ABM - равнобедренный, и ∠B = ∠BAM = α.

∠AMC - внешний угол треугольника ABM, следовательно, ∠AMC = ∠B + ∠BAM = α + α = 2α.

Так как AM = MC, то треугольник AMC - равнобедренный, и ∠C = ∠MAC = γ.

Следовательно, ∠AMC = ∠MAC = 2α.

Значит, γ = 2α.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

∠A = ∠BAM + ∠MAC = α + γ.

Подставим в уравнение суммы углов:

α + γ + α + γ = 180°.

2α + 2γ = 180°.

Разделим обе части на 2: α + γ = 90°.

Следовательно, ∠A = 90°.

Тогда ∠B + ∠C = α + γ = 90° = ∠A.

Значит, один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Ответ: Один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов, доказано.