Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см, а відстань між серединою гіпотенузи та основою висоти трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр даного трикутника.

Нехай маємо прямокутний трикутник ABC, де кут C - прямий. Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, гіпотенуза AB = 2 * 10 см = 20 см.

Нехай CH - висота, проведена до гіпотенузи AB, а M - середина гіпотенузи AB. Відстань між серединою гіпотенузи та основою висоти дорівнює 6 см, тобто CM = 6 см.

Оскільки M - середина гіпотенузи, то AM = MB = AB/2 = 20/2 = 10 см.

Розглянемо трикутник CHM. Він прямокутний (кут CHM = 90 градусів). За теоремою Піфагора, CM² + HM² = MH².

Отже, CH² = CM² - HM² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64.

Звідси, CH = sqrt(64) = 8 см.

Площа трикутника ABC дорівнює (1/2) * AB * CH = (1/2) * 20 * 8 = 80 см².

Також площа трикутника ABC дорівнює (1/2) * AC * BC.

Отже, AC * BC = 2 * 80 = 160.

За теоремою Піфагора, AC² + BC² = AB² = 20² = 400.

Ми маємо систему рівнянь:

AC * BC = 160

AC² + BC² = 400

З першого рівняння виразимо BC: BC = 160/AC.

Підставимо в друге рівняння: AC² + (160/AC)² = 400.

AC² + 25600/AC² = 400.

Помножимо обидві частини на AC²: AC⁴ - 400AC² + 25600 = 0.

Нехай x = AC². Тоді x² - 400x + 25600 = 0.

D = 400² - 4 * 25600 = 160000 - 102400 = 57600.

x_1,2 = (400 +- sqrt(57600))/2 = (400 +- 240)/2.

x₁ = (400 + 240)/2 = 320; x₂ = (400 - 240)/2 = 80.

Отже, AC = sqrt(320) = 8 * sqrt(5), BC = sqrt(80) = 4 * sqrt(5) або навпаки.

Периметр трикутника ABC = AC + BC + AB = 8 * sqrt(5) + 4 * sqrt(5) + 20 = 12 * sqrt(5) + 20 см.

Відповідь: Периметр трикутника дорівнює 20 + 12√5 см.