Медиана треугольника совпадает с его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный. Дано: \(\triangle BCD\), CM - медиана и высота. Доказать: \(\triangle BCD\) равнобедренный. 1) Отрезок CM - медиана треугольника, следовательно, BM = ____ (по определению медианы). Так как отрезок CM - высота, то CM ____ BD (по определению высоты), значит, \(\angle CMB = \angle ____\). 2) В треугольниках BCM и _____, CM - общая, ____ = DM. Следовательно, по первому _____, \(\triangle ____ = \triangle DCM\), поэтому BC = ____, т. е. треугольник BCD - _____, что и требовалось доказать.

Заполним пропуски в доказательстве:

1. Отрезок CM - медиана треугольника, следовательно, BM = MD (по определению медианы).

2. Так как отрезок CM - высота, то CM \(\perp\) BD (по определению высоты), значит, \(\angle CMB = \angle CMD\).

3. В треугольниках BCM и DCM, CM - общая, BM = DM. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, \(\triangle BCM = \triangle DCM\), поэтому BC = DC, т. е. треугольник BCD - равнобедренный, что и требовалось доказать.

Таким образом, заполненный текст доказательства выглядит так:

Дано: \(\triangle BCD\), CM - медиана и высота.

Доказать: \(\triangle BCD\) равнобедренный.

1. Отрезок CM - медиана треугольника, следовательно, BM = MD (по определению медианы).

2. Так как отрезок CM - высота, то CM \(\perp\) BD (по определению высоты), значит, \(\angle CMB = \angle CMD\).

3. В треугольниках BCM и DCM, CM - общая, BM = DM. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, \(\triangle BCM = \triangle DCM\), поэтому BC = DC, т. е. треугольник BCD - равнобедренный, что и требовалось доказать.