Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности, проходящей через середину отрезка ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности, описанной около него, равен 12, а длины его двух меньших сторон относятся как 2:1.

Пусть BM - медиана треугольника ABC, являющаяся диаметром окружности, проходящей через середину отрезка BC.

Найдем площадь треугольника ABC, если радиус окружности, описанной около него, равен 12, а длины его двух меньших сторон относятся как 2:1.

Пусть AB = 2x, BC = x, AC = y.

Т.к. BM - диаметр, то угол BCM - прямой (опирается на диаметр). Следовательно, треугольник BCM - прямоугольный.

Т.к. M - середина AC, то CM = AM = y/2.

В прямоугольном треугольнике BCM:

BM = 2R = 2*12 = 24.

По теореме Пифагора:

$$BC^2 + CM^2 = BM^2$$

$$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = 24^2$$

$$x^2 + \frac{y^2}{4} = 576$$

$$4x^2 + y^2 = 2304$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA} = \frac{AC}{sinB} = 2R = 24$$

$$\frac{2x}{sinC} = \frac{x}{sinA} = \frac{y}{sinB} = 24$$

$$sinC = \frac{2x}{24} = \frac{x}{12}$$

$$sinA = \frac{x}{24}$$

$$sinB = \frac{y}{24}$$

Т.к. угол BCM прямой, то угол BCA также прямой, следовательно, треугольник ABC - прямоугольный с гипотенузой AB.

Тогда по теореме Пифагора:

$$AB^2 = BC^2 + AC^2$$

$$(2x)^2 = x^2 + y^2$$

$$4x^2 = x^2 + y^2$$

$$3x^2 = y^2$$

$$y = x\sqrt{3}$$

Подставим в уравнение $$4x^2 + y^2 = 2304$$:

$$4x^2 + (x\sqrt{3})^2 = 2304$$

$$4x^2 + 3x^2 = 2304$$

$$7x^2 = 2304$$

$$x^2 = \frac{2304}{7}$$

$$x = \sqrt{\frac{2304}{7}} = \frac{48}{\sqrt{7}}$$

$$y = x\sqrt{3} = \frac{48\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$

Площадь треугольника ABC:

$$S = \frac{1}{2} BC \cdot AC = \frac{1}{2} x \cdot y = \frac{1}{2} \frac{48}{\sqrt{7}} \cdot \frac{48\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{1}{2} \frac{48 \cdot 48 \sqrt{3}}{7} = \frac{24 \cdot 48 \sqrt{3}}{7} = \frac{1152\sqrt{3}}{7}$$

Ответ: $$\frac{1152\sqrt{3}}{7}$$