6. Металлический объект кубической формы со стороной 40 см плавает в сосуде с ртутью. В сосуд налили жидкость таким образом, что её верхний уровень совпал с верхней горизонтальной поверхностью объекта. Найди высоту столба налитой в сосуд жидкости. Справочные данные: свободного падения g=10 Н/кг, металла 2700 кг/м³, плотность ртути 13600 кг/м³, плотность жидкости 1030 кг/м². (Ответ округли до десятых)

Краткое пояснение: Для решения задачи надо приравнять силы тяжести и Архимеда.

Шаг 1: Переведем все единицы измерения в систему СИ.

• 40 см = 0,4 м

Шаг 2: Запишем условие плавания тела.

• Сила тяжести равна сумме архимедовых сил, действующих на куб:

\[mg = F_{A1} + F_{A2}\] где:

• \(m\) - масса куба,
• \(g\) - ускорение свободного падения,
• \(F_{A1}\) - сила Архимеда, действующая со стороны ртути,
• \(F_{A2}\) - сила Архимеда, действующая со стороны жидкости.

Шаг 3: Распишем массы и силы Архимеда через плотности и объемы.

• \(m = \rho_{металла} V\), где \(V = a^3\) - объем куба.
• \(F_{A1} = \rho_{ртути} g V_{погруженной части в ртути}\), где \(V_{погруженной части в ртути} = a^2 h_{ртути}\), где \(h_{ртути}\) - высота погруженной части куба в ртуть.
• \(F_{A2} = \rho_{жидкости} g V_{части в жидкости}\), где \(V_{части в жидкости} = a^2 h_{жидкости}\), где \(h_{жидкости}\) - высота части куба в жидкости.

\[\rho_{металла} a^3 g = \rho_{ртути} g a^2 h_{ртути} + \rho_{жидкости} g a^2 h_{жидкости}\] Шаг 4: Разделим обе части уравнения на \(ga^2\). \[\rho_{металла} a = \rho_{ртути} h_{ртути} + \rho_{жидкости} h_{жидкости}\] Шаг 5: Выразим высоту части куба в жидкости.

• Так как верхний уровень жидкости совпадает с верхней гранью куба, то:

\[h_{жидкости} = a - h_{ртути}\] Подставим это выражение в уравнение: \[\rho_{металла} a = \rho_{ртути} h_{ртути} + \rho_{жидкости} (a - h_{ртути})\] \[\rho_{металла} a = \rho_{ртути} h_{ртути} + \rho_{жидкости} a - \rho_{жидкости} h_{ртути}\] Шаг 6: Выразим высоту погружения в ртуть \(h_{ртути}\): \[h_{ртути} (\rho_{ртути} - \rho_{жидкости}) = a(\rho_{металла} - \rho_{жидкости})\] \[h_{ртути} = a \frac{\rho_{металла} - \rho_{жидкости}}{\rho_{ртути} - \rho_{жидкости}}\] \[h_{ртути} = 0.4 \frac{2700 - 1030}{13600 - 1030} = 0.4 \cdot \frac{1670}{12570} \approx 0.053 \,м\] Шаг 7: Вычислим высоту столба жидкости: \[h_{жидкости} = a - h_{ртути} = 0.4 - 0.053 = 0.347 \,м \approx 0.35 \,м\]