3. Минимум и максимум

Давайте решим задачу по шагам: 1. Поиск `a`: `a = min max(x² + xy)` при `y ∈ I`, `x ∈ I`, где `I = [-1, 1]`. Сначала найдем `max(x² + xy)` для фиксированного `y` на интервале `x ∈ [-1, 1]`. Рассмотрим функцию `f(x) = x² + xy`. Производная `f'(x) = 2x + y`. Приравняем к нулю: `2x + y = 0`, откуда `x = -y/2`. - Если `-y/2 ∈ [-1, 1]`, то есть `y ∈ [-2, 2]`, то у нас есть критическая точка. Однако, поскольку `y ∈ [-1, 1]`, это условие всегда выполняется. - Теперь рассмотрим значения функции на концах интервала и в критической точке: - `f(-1) = 1 - y` - `f(1) = 1 + y` - `f(-y/2) = (-y/2)² + y(-y/2) = y²/4 - y²/2 = -y²/4` Поскольку `y ∈ [-1, 1]`, то `1 - y >= 0` и `1 + y >= 0`. Сравним `1 - y`, `1 + y` и `-y²/4`. Так как `-y²/4 <= 0` и `1 - y` и `1 + y` неотрицательны, то максимум достигается либо в точке `x = 1`, либо в точке `x = -1`. При этом: - Если `y > 0`, то `1 + y > 1 - y`, и `max(x² + xy) = 1 + y`. - Если `y < 0`, то `1 - y > 1 + y`, и `max(x² + xy) = 1 - y`. - Если `y = 0`, то `max(x² + xy) = 1`. В любом случае, `max(x² + xy) = 1 + |y|`. Теперь найдем минимум этой функции по `y ∈ [-1, 1]`: `min(1 + |y|) = 1 + |0| = 1`. Значит, `a = 1`. 2. Поиск `b`: `b = max min(x² + xy)` при `x ∈ I`, `y ∈ I`, где `I = [-1, 1]`. Сначала найдем `min(x² + xy)` для фиксированного `x` на интервале `y ∈ [-1, 1]`. Рассмотрим функцию `g(y) = x² + xy`. Это линейная функция относительно `y`. Минимум достигается на одном из концов интервала `[-1, 1]`. - `g(-1) = x² - x` - `g(1) = x² + x` Теперь найдем `min(x² + xy) = min(x² - x, x² + x)`. Заметим, что `x² - x <= x² + x` при `x >= 0` и `x² + x <= x² - x` при `x <= 0`. Таким образом, `min(x² - x, x² + x) = x² - |x|`. Теперь найдем максимум этой функции по `x ∈ [-1, 1]`: `max(x² - |x|)`. Рассмотрим функцию `h(x) = x² - |x|`. - При `x >= 0`, `h(x) = x² - x`. - При `x < 0`, `h(x) = x² + x`. Производная `h(x)` при `x > 0` равна `2x - 1`. Приравняем к нулю: `2x - 1 = 0`, откуда `x = 1/2`. Производная `h(x)` при `x < 0` равна `2x + 1`. Приравняем к нулю: `2x + 1 = 0`, откуда `x = -1/2`. Теперь рассмотрим значения функции на концах интервала и в критических точках: - `h(-1) = (-1)² - |-1| = 1 - 1 = 0` - `h(1) = (1)² - |1| = 1 - 1 = 0` - `h(-1/2) = (-1/2)² - |-1/2| = 1/4 - 1/2 = -1/4` - `h(1/2) = (1/2)² - |1/2| = 1/4 - 1/2 = -1/4` Максимум достигается в точках `x = -1` и `x = 1`, и `max(x² - |x|) = 0`. Значит, `b = 0`. 3. Вычисление `a + b`: `a + b = 1 + 0 = 1`. Ответ: 1