58. MN : NK : KL = 2 : 6 : 7, PMNKL = 54, MN, NK, KL, LM - ?

Задача 58: В данной задаче нам дан четырехугольник MNKL, описанный около окружности. Известно отношение сторон MN : NK : KL = 2 : 6 : 7 и периметр PMNKL = 54. Требуется найти длины сторон MN, NK, KL и LM. Пусть MN = 2x, NK = 6x, KL = 7x. Так как четырехугольник описан около окружности, суммы его противоположных сторон равны. Значит: $$MN + KL = NK + LM$$ Периметр четырехугольника равен сумме всех его сторон: $$P_{MNKL} = MN + NK + KL + LM$$ Подставляем известные значения: $$54 = 2x + 6x + 7x + LM$$ $$54 = 15x + LM$$ Используем свойство описанного четырехугольника: $$2x + 7x = 6x + LM$$ $$9x = 6x + LM$$ $$LM = 3x$$ Подставляем LM = 3x в уравнение для периметра: $$54 = 15x + 3x$$ $$54 = 18x$$ $$x = \frac{54}{18}$$ $$x = 3$$ Теперь найдем длины сторон: $$MN = 2x = 2 * 3 = 6$$ $$NK = 6x = 6 * 3 = 18$$ $$KL = 7x = 7 * 3 = 21$$ $$LM = 3x = 3 * 3 = 9$$ Ответ: MN = 6, NK = 18, KL = 21, LM = 9