Монету подбрасывают 1000 раз. На основе этих данных, оцените снизу вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на 0,1. Приведите шаги для вычислений.

Для оценки вероятности отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на 0.1, мы можем использовать неравенство Чебышева. В данном случае, у нас есть:

• n = 1000 (количество подбрасываний монеты)
• p = q = 0.5 (вероятность выпадения герба и решки, соответственно)
• ε = 0.1 (максимальное допустимое отклонение)

Неравенство Чебышева утверждает, что:

$$ P(|\frac{m}{n} - p| < \epsilon) > 1 - \frac{p \cdot q}{n \cdot \epsilon^2} $$

Подставим наши значения:

$$ P(|\frac{m}{1000} - \frac{1}{2}| < 0.1) > 1 - \frac{0.5 \cdot 0.5}{1000 \cdot (0.1)^2} $$ $$ P(|\frac{m}{1000} - \frac{1}{2}| < 0.1) > 1 - \frac{0.25}{1000 \cdot 0.01} $$ $$ P(|\frac{m}{1000} - \frac{1}{2}| < 0.1) > 1 - \frac{0.25}{10} $$ $$ P(|\frac{m}{1000} - \frac{1}{2}| < 0.1) > 1 - 0.025 $$ $$ P(|\frac{m}{1000} - \frac{1}{2}| < 0.1) > 0.975 $$

Теперь рассмотрим, что означает неравенство $$|\frac{m}{1000} - \frac{1}{2}| < 0.1$$. Это можно переписать как:

$$ -0.1 < \frac{m}{1000} - \frac{1}{2} < 0.1 $$

Прибавим 0.5 ко всем частям:

$$ 0.4 < \frac{m}{1000} < 0.6 $$

Умножим все части на 1000:

$$ 400 < m < 600 $$

Таким образом, вероятность того, что число выпадений герба находится в интервале (400, 600), больше 0.975.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов. Заметим, что нам нужно оценить вероятность снизу, то есть найти такое значение, которое гарантированно меньше или равно этой вероятности.

• Первый вариант предлагает оценку 39/40 = 0.975
• Второй вариант предлагает оценку 0.01
• Третий вариант предлагает оценку 0.025

Так как мы получили, что вероятность больше 0.975, то подходит первый вариант, так как 0.975 является нижней оценкой (минимальным значением, которое может принимать вероятность).

Ответ:

$$p=q=0,5, \epsilon=0,1, n=1000, P\left(\left|\frac{m}{1000}-\frac{1}{2}\right|<0,1\right) > 1 - \frac{0.5 \cdot 0.5}{1000 \cdot 0.1^2} = 1 - \frac{0.25}{10} = 1 - 0.025 = 0.975 = \frac{39}{40}$$.

Неравенство $$\left|\frac{m}{1000}-\frac{1}{2}\right|<0,1$$ равносильно двойному неравенству $$400