114 мой в. Перпендикуляры MN и PQ, проведён- Р лежат по одну сторону от пря- ные к прямой в, равны. Точка О - середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ДМОР = 105°.

Предмет: Геометрия ШАГ 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Подпункты: * a) Доказать, что углы OMP и OPM равны. * б) Найти угол NOM, если угол MOP равен 105 градусов. * Данные: MN и PQ - перпендикуляры к прямой b, MN = PQ, O - середина NQ, $$\angle MOP = 105^\circ$$. ШАГ 2: Выбор методики и планирование решения. * Метод: Использовать свойства равнобедренных треугольников и углов, образованных при пересечении прямых. ШАГ 3: Пошаговое выполнение и форматирование. а) Докажем, что $$\angle OMP = \angle OPM$$ 1. Так как MN и PQ перпендикулярны прямой b, то $$\angle MNO = \angle PQO = 90^\circ$$. 2. Так как O - середина NQ, то NO = OQ. 3. Рассмотрим треугольники MNO и PQO. У них: MN = PQ (по условию), NO = OQ (по условию), $$\angle MNO = \angle PQO = 90^\circ$$. 4. Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 5. Из равенства треугольников следует, что MO = PO. Значит, треугольник MOP - равнобедренный (по определению). 6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle OMP = \angle OPM$$. Что и требовалось доказать. б) Найдем $$angle NOM$$, если $$\angle MOP = 105^\circ$$ 1. В треугольнике MOP $$\angle OMP = \angle OPM$$. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, значит $$\angle OMP + \angle OPM + \angle MOP = 180^\circ$$. 2. Тогда $$\angle OMP + \angle OPM = 180^\circ - \angle MOP = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$$. 3. Так как $$\angle OMP = \angle OPM$$, то $$\angle OMP = \angle OPM = \frac{75^\circ}{2} = 37.5^\circ$$. 4. В прямоугольном треугольнике MNO $$angle MNO = 90^\circ$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам, значит $$\angle NOM + \angle NMO = 90^\circ$$. 5. $$\angle NMO = \angle OMP = 37.5^\circ$$, следовательно, $$\angle NOM = 90^\circ - \angle NMO = 90^\circ - 37.5^\circ = 52.5^\circ$$. ШАГ 4: Финальное оформление ответа.

а) $$\angle OMP = \angle OPM$$

б) $$angle NOM = 52.5^\circ$$