Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «ООШ № 90» Региональный зачет по геометрии 2025 год 8 класс Билет № 1 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. По параграфу Докажите одну из них по выбору. Радиус ОВ окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке) и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если ВD=1см, а радиус окружности равен 5см. 1140,41 2164 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

1. Определение многоугольника: Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, называемых сторонами, которые последовательно соединяются в вершинах, образуя замкнутую ломаную линию.
2. Вершины, стороны, диагонали: Вершины — точки, где сходятся стороны. Стороны — отрезки, образующие многоугольник. Диагонали — отрезки, соединяющие несоседние вершины.
3. Периметр многоугольника: Сумма длин всех сторон многоугольника.
4. Формула суммы углов выпуклого многоугольника: \[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \] где \[ n \quad \text{— число сторон многоугольника.} \]
5. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины.
6. Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме их длин.
7. Расчет хорды АС:
   1. В окружности радиус R = 5 см. OD = OB - DB = 5 - 1 = 4 см.
   2. В прямоугольном треугольнике AOD: AD^2 + OD^2 = OA^2 (по теореме Пифагора).
   3. AD^2 + 4^2 = 5^2
   4. AD^2 + 16 = 25
   5. AD^2 = 9
   6. AD = 3 см.
   7. Поскольку OD перпендикулярно АС, то D является серединой хорды АС.
   8. AC = 2 * AD = 2 * 3 = 6 см.
8. Расчет площади прямоугольника:
   1. Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Периметр P = 2(a+b) = 56, следовательно, a+b = 28.
   2. Диагональ d = 20. По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = d^2 = 20^2 = 400.
   3. Возведем в квадрат сумму сторон: (a+b)^2 = 28^2 = 784.
   4. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
   5. 784 = 400 + 2ab
   6. 2ab = 784 - 400 = 384.
   7. ab = 384 / 2 = 192.
   8. Площадь прямоугольника S = ab = 192.

Ответ: 1) Определение многоугольника: Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, называемых сторонами, которые последовательно соединяются в вершинах, образуя замкнутую ломаную линию. Вершины — точки, где сходятся стороны. Стороны — отрезки, образующие многоугольник. Диагонали — отрезки, соединяющие несоседние вершины. Периметр многоугольника — сумма длин всех сторон многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника: S = (n-2) * 180°, где n — число сторон многоугольника. 2) Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине её длины. Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме их длин. 3) АС = 6 см. 4) Площадь = 192.