Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «OOIШ № 90» Региональный зачет по геометрии 2025 год 8 класс Билет № 3 1) Сформулируйте определение и свойства прямоугольника. 2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3) Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду АВ, равную радиусу окружности. 4) В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой биссектрисой BD.

Решение:

1. Определение прямоугольника: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°).
2. Свойства прямоугольника:
   • Противоположные стороны равны и параллельны (следовательно, прямоугольник — это частный случай параллелограмма).
   • Все углы равны 90°.
   • Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
3. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \[ c \quad \text{— длина гипотенузы,} \] \[ a \quad \text{и} \quad b \quad \text{— длины катетов.} \]
4. Расчет вписанного угла α:
   1. Пусть O — центр окружности. Хорда AB равна радиусу окружности, то есть AB = OA = OB = R.
   2. Треугольник AOB является равносторонним, так как все его стороны равны R.
   3. Следовательно, центральный угол AOB = 60°.
   4. Вписанный угол α опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
   5. \[ \alpha = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \]
5. Расчет угла между высотой и биссектрисой:
   1. В треугольнике ABC: ∠A = 20°, ∠C = 60°.
   2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 20° - 60° = 100°.
   3. BH — высота, проведенная из вершины B к стороне AC. Угол BHC = 90°.
   4. BD — биссектриса угла B. Она делит угол B пополам: ∠ABD = ∠CBD = ∠B / 2 = 100° / 2 = 50°.
   5. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC: ∠HBC = 180° - ∠BHC - ∠C = 180° - 90° - 60° = 30°.
   6. Теперь найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD. Этот угол равен ∠HBD.
   7. ∠HBD = ∠CBD - ∠CBH = 50° - 30° = 20°.
   8. (Альтернативно: ∠ABD = 50°. В треугольнике ABH: ∠ABH = 180° - 90° - 20° = 70°. ∠HBD = ∠ABD - ∠ABH = 50° - 70° = -20°. Это означает, что высота BH лежит вне угла ABD.
   9. Нужно быть внимательнее с углами.
   10. Рассмотрим угол ABD = 50°.
   11. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. ∠BAH = 20°, ∠AHB = 90°. ∠ABH = 180° - 90° - 20° = 70°.
   12. Угол HBD = ∠ABH - ∠ABD = 70° - 50° = 20°.
   13. Мы ищем угол между высотой BH и биссектрисой BD.
   14. Угол HBD = ∠ABH - ∠ABD, где ABH - угол между стороной AB и высотой BH, а ABD - угол между стороной AB и биссектрисой BD.
   15. ∠ABH = 70°. ∠ABD = 50°. ∠HBD = 70° - 50° = 20°.
   16. Другой способ: угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины, равен полуразности углов прилежащих к основанию.
   17. Угол между BH и BD = |∠ABH - ∠ABD| = |70° - 50°| = 20°.
   18. Угол между BH и BD = |∠CBH - ∠CBD| = |30° - 50°| = |-20°| = 20°.

Ответ: 1) Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°). Свойства: Противоположные стороны равны и параллельны. Все углы равны 90°. Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. 2) Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. c² = a² + b². 3) α = 30°. 4) Угол между высотой и биссектрисой равен 20°.