N 1. Решить уравнение x³+x+3√2=0

Решение:

Уравнение \( x^3 + x + 3\sqrt{2} = 0 \) является кубическим. Для решения кубических уравнений существуют общие формулы (например, формула Кардано), но они довольно громоздки. Часто для таких уравнений пытаются найти рациональные корни или используют численные методы. Попытаемся найти очевидный корень. Если мы подставим \( x = - \sqrt{2} \), то получим:

\[ (-\sqrt{2})^3 + (-\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = -2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = -3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 0 \]

Таким образом, \( x = -\sqrt{2} \) является одним из корней.

Теперь можно разделить многочлен \( x^3 + x + 3\sqrt{2} \) на \( (x + \sqrt{2}) \) с помощью деления столбиком или схемы Горнера.

Деление столбиком:

       x^2 - √2x + 3
    ________________
x+√2 | x^3 + 0x^2 + x + 3√2
     -(x^3 + √2x^2)
     __________
           -√2x^2 + x
         -(-√2x^2 - 2x)
         ____________
                 3x + 3√2
               -(3x + 3√2)
               __________
                      0

Получаем квадратное уравнение: \( x^2 - \sqrt{2}x + 3 = 0 \).

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 2 - 12 = -10 \]

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, единственным действительным корнем исходного кубического уравнения является \( x = -\sqrt{2} \).

Ответ: x = -√2.