x⁴-5x³8x-5x+1=0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным уравнением вида \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \) только при условии, что члены с нечетными степенями \( x³ \) и \( x \) отсутствуют или равны нулю. В данном случае у нас есть члены \( -5x³ \) и \( -5x \), что делает это уравнение общего вида 4-й степени. Однако, если предположить, что в записи \( -5x³8x \) имеется в виду \( -5x^3 \) и \( -8x^2 \) (или другая комбинация, но стандартная запись биквадратного уравнения предполагает степени 4, 2, 0), или это опечатка, и это уравнение другого типа. Давайте предположим, что это опечатка, и попробуем решить уравнение как возвратное уравнение 4-й степени, предполагая, что коэффициент при \( x^3 \) и \( x \) равны, и коэффициент при \( x^2 \) отличен от них.

Если предположить, что уравнение выглядит так: \( x^4 - 5x^3 - 8x^2 - 5x + 1 = 0 \).

Это уравнение является возвратным уравнением 4-й степени, так как коэффициенты симметричны (1, -5, -8, -5, 1).

Так как \( x=0 \) не является корнем ( \( 0^4 - 5(0)^3 - 8(0)^2 - 5(0) + 1 = 1 \neq 0 \)), разделим обе части уравнения на \( x^2 \):

\[ x^2 - 5x - 8 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \]

Сгруппируем члены:

\[ (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 5(x + \frac{1}{x}) - 8 = 0 \]

Введём замену: \( y = x + \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \), откуда \( x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 \).

Подставим в уравнение:

\[ (y^2 - 2) - 5y - 8 = 0 \]

\[ y^2 - 5y - 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65 \]

\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \], \( y_2 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \).

Теперь вернёмся к замене \( y = x + \frac{1}{x} \).

Случай 1: \( y_1 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \)

\[ x + \frac{1}{x} = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \]

Умножим на \( x \):

\[ x^2 + 1 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2}x \]

\[ 2x^2 + 2 = (5 + \sqrt{65})x \]

\[ 2x^2 - (5 + \sqrt{65})x + 2 = 0 \]

Найдём дискриминант для этого квадратного уравнения:

\[ D_1 = (-(5 + \sqrt{65}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = (5 + \sqrt{65})^2 - 16 = 25 + 10\sqrt{65} + 65 - 16 = 74 + 10\sqrt{65} \]

\[ x_{1,2} = \frac{5 + \sqrt{65} \pm \sqrt{74 + 10\sqrt{65}}}{4} \]

Случай 2: \( y_2 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \)

\[ x + \frac{1}{x} = \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \]

Умножим на \( x \):

\[ x^2 + 1 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2}x \]

\[ 2x^2 + 2 = (5 - \sqrt{65})x \]

\[ 2x^2 - (5 - \sqrt{65})x + 2 = 0 \]

Найдём дискриминант для этого квадратного уравнения:

\[ D_2 = (-(5 - \sqrt{65}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = (5 - \sqrt{65})^2 - 16 = 25 - 10\sqrt{65} + 65 - 16 = 74 - 10\sqrt{65} \]

\[ x_{3,4} = \frac{5 - \sqrt{65} \pm \sqrt{74 - 10\sqrt{65}}}{4} \]

Примечание: Если запись \( -5x³8x \) подразумевала \( -5x^3 \) и \( -8x \), то это уравнение 4-й степени, которое не является возвратным и решается методами, например, разложением на множители или численными методами, и не имеет простых аналитических решений, как возвратное уравнение. Если же \( 8x \) означает \( 8x^2 \), то уравнение \( x^4 - 5x^3 - 8x^2 - 5x + 1 = 0 \) было бы более вероятно.

Ответ: В случае, если уравнение возвратное \( x^4 - 5x^3 - 8x^2 - 5x + 1 = 0 \), корни: \( x_{1,2} = \frac{5 + \sqrt{65} \pm \sqrt{74 + 10\sqrt{65}}}{4} \) и \( x_{3,4} = \frac{5 - \sqrt{65} \pm \sqrt{74 - 10\sqrt{65}}}{4} \). Если запись \( -5x³8x \) имеет другое значение, решение невозможно без уточнения.