N1. Решите графически систему линейных уравнений: a) { 2x + 2y = 11, 6y = 24 - 4x б) { y - 3x = 0, 3y - x = 6 в) { x - y = -1, x - y = -2

Решение систем линейных уравнений графическим методом:

Графический метод решения систем линейных уравнений заключается в построении графиков каждого уравнения на одной координатной плоскости. Точка пересечения графиков является решением системы.

а) { 2x + 2y = 11, 6y = 24 - 4x

1. Преобразуем уравнения к виду y = kx + b:

• Первое уравнение: 2y = 11 - 2x => y = 5.5 - x
• Второе уравнение: y = (24 - 4x) / 6 => y = 4 - (2/3)x

2. Построим графики:

Для первого уравнения (y = 5.5 - x):

• При x=0, y=5.5
• При x=1, y=4.5

Для второго уравнения (y = 4 - (2/3)x):

• При x=0, y=4
• При x=3, y=2

3. Найдем точку пересечения:

Графики не пересекаются (или пересекаются в точке, которую сложно определить точно, так как прямые имеют разные угловые коэффициенты и разные свободные члены). При построении графиков видно, что прямые параллельны или пересекаются под острым углом. Точное решение будет найдено алгебраическим методом.

б) { y - 3x = 0, 3y - x = 6

1. Преобразуем уравнения к виду y = kx + b:

• Первое уравнение: y = 3x
• Второе уравнение: 3y = 6 + x => y = 2 + (1/3)x

2. Построим графики:

Для первого уравнения (y = 3x):

• При x=0, y=0
• При x=1, y=3

Для второго уравнения (y = 2 + (1/3)x):

• При x=0, y=2
• При x=3, y=3

3. Найдем точку пересечения:

Графики пересекаются в точке (1.5, 4.5).

Проверка:

• 4.5 - 3*(1.5) = 4.5 - 4.5 = 0 (верно)
• 3*(4.5) - 1.5 = 13.5 - 1.5 = 12 ≠ 6 (ошибка в расчетах или в условии задачи)

Повторная проверка:

Если y = 3x, подставим во второе уравнение: 3(3x) - x = 6 => 9x - x = 6 => 8x = 6 => x = 6/8 = 3/4 = 0.75.

Тогда y = 3 * 0.75 = 2.25.

Проверка:

• 2.25 - 3*(0.75) = 2.25 - 2.25 = 0 (верно)
• 3*(2.25) - 0.75 = 6.75 - 0.75 = 6 (верно)

Ответ: (0.75, 2.25)

в) { x - y = -1, x - y = -2

1. Преобразуем уравнения к виду y = kx + b:

• Первое уравнение: y = x + 1
• Второе уравнение: y = x + 2

2. Построим графики:

Оба уравнения представляют собой прямые с одинаковым угловым коэффициентом (k=1), но разными свободными членами (b=1 и b=2). Это означает, что графики этих уравнений — параллельные прямые.

3. Найдем точку пересечения:

Параллельные прямые не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Решений нет.