N3. Дано: \( \angle BAC = 70^{\circ} \), \( \overset{\frown}{AD} = 80^{\circ} \). Найти углы четырехугольника ABCD.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Это означает, что сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \).

1. Дано: \( \angle BAC = 70^{\circ} \). Этот угол является вписанным и опирается на дугу \( \overset{\frown}{BC} \).
2. Следовательно, \( \overset{\frown}{BC} = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 70^{\circ} = 140^{\circ} \).
3. Дано: \( \overset{\frown}{AD} = 80^{\circ} \).
4. Угол \( \angle ABD \) — вписанный, опирается на дугу \( \overset{\frown}{AD} \).
5. \( \angle ABD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AD} = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
6. Угол \( \angle ACD \) — вписанный, опирается на дугу \( \overset{\frown}{AD} \).
7. \( \angle ACD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AD} = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
8. Найдем дугу \( \overset{\frown}{CD} \). Сумма всех дуг равна \( 360^{\circ} \).
9. \( \overset{\frown}{CD} = 360^{\circ} - \overset{\frown}{BC} - \overset{\frown}{AD} - \overset{\frown}{AB} \).
10. Неизвестна дуга \( \overset{\frown}{AB} \).
11. Найдем \( \angle BCD \). Он вписанный и опирается на дугу \( \overset{\frown}{BAD} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{AD} \).
12. Найдем \( \angle BAD \). Он вписанный и опирается на дугу \( \overset{\frown}{BCD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} \).
13. Исходя из того, что ABCD - вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180 градусов.
14. \( \angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ} \)
15. \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \)
16. Нам нужно найти углы \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \) четырехугольника.
17. \( \angle BAC = 70^{\circ} \) — это только часть угла \( \angle BAD \).
18. \( \overset{\frown}{BC} = 2 \cdot 70^{\circ} = 140^{\circ} \).
19. \( \overset{\frown}{AD} = 80^{\circ} \).
20. Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{ADC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DC} \).
21. Угол \( \angle ADC \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} \).
22. Угол \( \angle BCD \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{BAD} = \overset{\frown}{BA} + \overset{\frown}{AD} \).
23. Угол \( \angle BAD \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{BCD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} \).
24. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \)
25. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \)
26. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \)
27. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \)
28. У нас есть \( \angle BAC = 70^{\circ} \) (опирается на \( \overset{\frown}{BC} \), значит \( \overset{\frown}{BC} = 140^{\circ} \)).
29. \( \overset{\frown}{AD} = 80^{\circ} \).
30. \( \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
31. \( \angle ACD = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
32. \( \angle CAD \) опирается на \( \overset{\frown}{CD} \). \( \angle CBD \) опирается на \( \overset{\frown}{CD} \).
33. \( \angle ADB \) опирается на \( \overset{\frown}{AB} \). \( \angle ACB \) опирается на \( \overset{\frown}{AB} \).
34. \( \angle BDC \) опирается на \( \overset{\frown}{BC} = 140^{\circ} \).
35. \( \angle BDC = \frac{1}{2} \cdot 140^{\circ} = 70^{\circ} \).
36. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). \( \angle DBC \) неизвестен.
37. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = \angle ADB + 70^{\circ} \).
38. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 70^{\circ} + \angle CAD \).
39. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \angle BCA + 40^{\circ} \).
40. \( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \)
41. \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \)
42. Не хватает информации для нахождения дуг \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{CD} \).
43. Однако, если предположить, что ABCD — вписанная трапеция (по рисунку похоже на равнобедренную), то \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} \).
44. \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD} = 360^{\circ} - 140^{\circ} - 80^{\circ} = 140^{\circ} \).
45. Тогда \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} = 140^{\circ} / 2 = 70^{\circ} \).
46. Теперь найдем углы:
47. \( \angle BAD \) опирается на \( \overset{\frown}{BCD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 140^{\circ} + 70^{\circ} = 210^{\circ} \).
48. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 210^{\circ} = 105^{\circ} \).
49. \( \angle BCD \) опирается на \( \overset{\frown}{BAD} = \overset{\frown}{BA} + \overset{\frown}{AD} = 70^{\circ} + 80^{\circ} = 150^{\circ} \).
50. \( \angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 150^{\circ} = 75^{\circ} \).
51. Проверка: \( 105^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ} \).
52. \( \angle ABC \) опирается на \( \overset{\frown}{ADC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DC} = 80^{\circ} + 70^{\circ} = 150^{\circ} \).
53. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 150^{\circ} = 75^{\circ} \).
54. \( \angle ADC \) опирается на \( \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 70^{\circ} + 140^{\circ} = 210^{\circ} \).
55. \( \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 210^{\circ} = 105^{\circ} \).
56. Проверка: \( 75^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ} \).
57. Углы четырехугольника: \( \angle A = 105^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 75^{\circ}, \angle D = 105^{\circ} \).
58. Проверим \( \angle BAC = 70^{\circ} \). \( \angle BAD = 105^{\circ} \). \( \angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 105^{\circ} - 70^{\circ} = 35^{\circ} \). \( \angle CAD \) опирается на \( \overset{\frown}{CD} = 70^{\circ} \). \( \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ} \). Все сходится.

Ответ: \( \angle A = 105^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 75^{\circ}, \angle D = 105^{\circ} \).