N5. Дано: \( \overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} = 11:12 \), \( \angle AOC = 130^{\circ} \). Найти \( \angle BCA \) и \( \angle BAC \).

Решение:

\( \angle AOC = 130^{\circ} \) — это центральный угол, который опирается на дугу \( \overset{\frown}{AC} \). Следовательно, \( \overset{\frown}{AC} = 130^{\circ} \).

Дано соотношение дуг \( \overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} = 11:12 \).

Сумма всех дуг окружности равна \( 360^{\circ} \).

\( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{AC} = 360^{\circ} \).

\( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} + 130^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 360^{\circ} - 130^{\circ} = 230^{\circ} \).

Пусть \( \overset{\frown}{AB} = 11x \) и \( \overset{\frown}{BC} = 12x \).

\( 11x + 12x = 230^{\circ} \).

\( 23x = 230^{\circ} \).

\( x = 10^{\circ} \).

\( \overset{\frown}{AB} = 11 \cdot 10^{\circ} = 110^{\circ} \).

\( \overset{\frown}{BC} = 12 \cdot 10^{\circ} = 120^{\circ} \).

Теперь найдем искомые углы:

1. \( \angle BCA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{AB} \).
2. \( \angle BCA = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \).
3. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{BC} \).
4. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BCA = 55^{\circ}, \angle BAC = 60^{\circ} \).