N4. Найдите все значения переменной, при которых значение выражения (x+3)/(x+2) - (2x)/(x²-4) равно нулю.

Решение:

1. Приведём обе дроби к общему знаменателю.
   Заметим, что x² - 4 раскладывается как разность квадратов: (x - 2)(x + 2).
   Общий знаменатель будет (x - 2)(x + 2).
   Умножим числитель первой дроби на (x - 2):
   (x + 3)(x - 2) / ((x + 2)(x - 2))
= (x² - 2x + 3x - 6) / (x² - 4)
= (x² + x - 6) / (x² - 4)
   Теперь наше выражение выглядит так:
   (x² + x - 6) / (x² - 4) - (2x) / (x² - 4) = 0
2. Вычтем числители:
   (x² + x - 6 - 2x) / (x² - 4) = 0
(x² - x - 6) / (x² - 4) = 0
3. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
   Числитель:x² - x - 6 = 0
   Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать дискриминант:
   a = 1, b = -1, c = -6
D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25
x1 = [-(-1) + sqrt(25)] / (2 * 1) = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3
x2 = [-(-1) - sqrt(25)] / (2 * 1) = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2
4. Проверим знаменатель:
   Знаменатель x² - 4 не должен быть равен нулю.
   x² - 4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ 2 и x ≠ -2
5. Сравним корни числителя с ограничениями знаменателя.
   Получили корни x1 = 3 и x2 = -2.
   Корень x2 = -2 не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.
   Значит, подходит только x = 3.

Ответ: 3