На белой клетчатой плоскости несколько клеток окрашено в синий цвет. За один ход любую белую клетку, у которой двое или более соседей по стороне окрашены (в небелый цвет), можно окрасить в красный цвет. В некоторый момент оказалось, что ни одну белую клетку уже нельзя окрасить в красный цвет. К этому времени ровно 213 клеток оказались окрашенными. Какое наименьшее число клеток могло быть изначально окрашено в синий цвет?

Для решения этой задачи нужно понять, какую конфигурацию должны иметь окрашенные клетки, чтобы белые клетки нельзя было перекрасить, и при этом общее количество окрашенных клеток было 213. Минимальное количество изначально окрашенных синим клеток достигается, когда красные клетки образуют как можно более плотную структуру. Оптимальным вариантом является ситуация, когда красные клетки окружают как можно меньше белых клеток, чтобы заблокировать их перекрашивание. 1. Рассмотрим квадратную решетку из красных клеток. Пусть сторона квадрата равна n. Тогда общее количество красных клеток равно n^2. 2. Если n^2 = 213, то n примерно равно 14.6, что не является целым числом. Это означает, что идеальный квадрат не получится. Ближайший возможный вариант — квадрат 14x14, что дает 196 клеток. 3. Оставшиеся 213 - 196 = 17 клеток нужно добавить так, чтобы минимизировать возможность перекрашивания. 4. Добавим эти 17 клеток по одной из сторон квадрата. Тогда получится прямоугольник 14x15, что дает 210 клеток. Остается добавить еще 3 клетки. 5. Чтобы блокировать перекрашивание, необходимо окружить белые клетки с двух или более сторон окрашенными клетками. Минимальное количество синих клеток будет, если они будут расположены по углам прямоугольника или внутри него. Минимальное количество синих клеток достигается, если они будут расположены в углах или внутри прямоугольника, чтобы предотвратить дальнейшие перекрашивания. Рассмотрим прямоугольник 14x15 (210 красных клеток). Добавим 3 синие клетки внутрь этого прямоугольника или по его краям. Чтобы минимизировать количество синих клеток, нужно создать ситуацию, когда красные клетки блокируют возможность перекрашивания белых клеток. Рассмотрим прямоугольник 14x15, в котором 210 клеток красные. Оставшиеся 3 клетки должны быть синими и расположены так, чтобы заблокировать перекрашивание белых клеток. Наименьшее число синих клеток будет, если они расположены по углам или внутри прямоугольника. Например, можно расположить их вдоль одной из сторон, чтобы заблокировать белые клетки. В этом случае минимальное количество синих клеток может быть 3. Итого, наименьшее число изначально окрашенных синим клеток должно быть 3.