На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F так, что AE = CF. Докажите, что ∠ACE = ∠CAF.

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, его боковые стороны равны: \(AB=BC\). По условию \(AE=CF\). Поэтому из равенств \(AB=BC\) и \(AE=CF\) получаем \(BE=BF\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle ACE\) и \(\triangle CAF\). У них \(AC\) — общая сторона, \(AE=CF\), а углы \(\angle CAE\) и \(\angle ACF\) равны как углы при основании равнобедренного треугольника \(ABC\): \(\angle BAC=\angle ACB\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках соответствующие углы равны, поэтому

\[\angle ACE=\angle CAF.\]

Ответ: \(\angle ACE=\angle CAF\).