На часах короткая часовая стрелка показывает часы, а длинная часовая стрелка показывает минуты. Определите вид меньшего угла между часовыми стрелками, когда часы показывают: а) 1 час и 9 минут; б) 3 часа и 45 минут; в) 9 часов 0 минут.

Решение:

Угол между часовой и минутной стрелками можно определить, зная, что полный оборот (360°) составляет 12 часов или 60 минут.

Скорость минутной стрелки: \( 360^{\circ} / 60 \text{ мин} = 6^{\circ} / \text{мин} \).

Скорость часовой стрелки: \( 360^{\circ} / 12 \text{ ч} = 30^{\circ} / \text{ч} \).

За 1 минуту часовая стрелка проходит \( 30^{\circ} / 60 \text{ мин} = 0.5^{\circ} / \text{мин} \).

1. а) 1 час и 9 минут:
   Положение минутной стрелки: \( 9 \text{ мин} \cdot 6^{\circ} / \text{мин} = 54^{\circ} \).
   Положение часовой стрелки: \( 1 \text{ ч} \cdot 30^{\circ} / \text{ч} + 9 \text{ мин} \cdot 0.5^{\circ} / \text{мин} = 30^{\circ} + 4.5^{\circ} = 34.5^{\circ} \).
   Угол между стрелками: \( |54^{\circ} - 34.5^{\circ}| = 19.5^{\circ} \). Этот угол острый.
2. б) 3 часа и 45 минут:
   Положение минутной стрелки: \( 45 \text{ мин} \cdot 6^{\circ} / \text{мин} = 270^{\circ} \).
   Положение часовой стрелки: \( 3 \text{ ч} \cdot 30^{\circ} / \text{ч} + 45 \text{ мин} \cdot 0.5^{\circ} / \text{мин} = 90^{\circ} + 22.5^{\circ} = 112.5^{\circ} \).
   Угол между стрелками: \( |270^{\circ} - 112.5^{\circ}| = 157.5^{\circ} \). Этот угол тупой.
3. в) 9 часов 0 минут:
   Положение минутной стрелки: \( 0 \text{ мин} \cdot 6^{\circ} / \text{мин} = 0^{\circ} \).
   Положение часовой стрелки: \( 9 \text{ ч} \cdot 30^{\circ} / \text{ч} = 270^{\circ} \).
   Угол между стрелками: \( |270^{\circ} - 0^{\circ}| = 270^{\circ} \). Это развернутый угол. Меньший угол равен \( 360^{\circ} - 270^{\circ} = 90^{\circ} \). Этот угол прямой.

Ответ: а) острый; б) тупой; в) прямой.