На дачном участке есть круглый пруд с центром в точке О. Хозяин участка решил проложить дорожку от дома (точки К) до пруда, которая должна касаться пруда в точке Е. Длина дорожки равна 8 метрам, а угол между радиусом пруда, проведённым в точку Е, и расстоянием КО равен 45°. Определите радиус пруда.

Дано:

• О — центр пруда
• К — дом
• Е — точка касания дорожки с прудом
• КЕ = 8 м (длина дорожки)
• ∠ОЕК = 90° (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
• ∠ЕКО = 45° (угол между радиусом и расстоянием КО)

Найти: Радиус пруда (ОЕ)

Решение:

1. Рассмотрим ∠ОЕК. Это прямоугольный треугольник, так как ∠ОЕК = 90°.
2. ∠ЕКО = 45°.
3. ∠КОЕ = 180° - 90° - 45° = 45°.
4. Так как ∠ЕКО = ∠КОЕ = 45°, то треугольник ∠ОЕК — равнобедренный.
5. Следовательно, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: ОЕ = КЕ.
6. По условию, длина дорожки КЕ = 8 метров.
7. Значит, ОЕ = 8 метров.
8. Радиус пруда равен длине отрезка ОЕ.

Ответ: Радиус пруда равен 8 метрам.