На данном рисунке треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, \(\angle ABD = \angle CBE\). а) Докажите, что треугольник DBE равнобедренный. б) Найдите \(\angle ADB\), если \(\angle BED = 70^\circ\).

а) Доказательство, что треугольник DBE равнобедренный.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Также дано, что $$\angle ABD = \angle CBE$$.

Рассмотрим углы $$\angle DBC$$ и $$\angle EBA$$. Мы можем выразить их следующим образом:

$$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD$$

$$\angle EBA = \angle CBA - \angle CBE$$

Так как $$\angle ABC = \angle CBA$$ (углы при основании равнобедренного треугольника) и $$\angle ABD = \angle CBE$$ (дано), то $$\angle DBC = \angle EBA$$.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE. У них:

• AB = BC (так как треугольник ABC равнобедренный)
• $$\angle ABD = \angle CBE$$ (дано)
• $$\angle BAD = \angle BCE$$ (так как $$\angle BAC = \angle BCA$$)

Следовательно, треугольники ABD и CBE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что BD = BE. Таким образом, треугольник DBE равнобедренный, так как у него две стороны равны.

б) Найдём $$\angle ADB$$, если $$angle BED = 70^\circ$$.

Так как треугольник DBE равнобедренный и BD = BE, то $$\angle BDE = \angle BED = 70^\circ$$.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно:

$$\angle DBE = 180^\circ - (\angle BDE + \angle BED) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$

Треугольники ABD и CBE равны (доказано в пункте а). Следовательно, $$\angle ADB = \angle BEC$$.

В треугольнике ABD:

$$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Следовательно, $$\angle BAD = \angle BCA$$.

Так же, $$\angle ABD = \angle CBE$$.

Тогда, $$\angle ADB = 180 - (\angle BAD + \angle ABD)$$.

$$\angle BEC = 180 - (\angle BCE + \angle CBE)$$.

В итоге, $$\angle ADB = 180 - (\angle BAC - \angle DAE + \angle ABC - \angle DBE)$$.

Выразим $$\angle ADB$$ через известные углы:

Из равенства треугольников ABD и CBE следует, что $$\angle ADB = \angle BEC$$.

Рассмотрим $$angle ABD$$. Мы знаем, что $$angle DBE = 40^\circ$$. Также из условия задачи $$angle BED = 70^\circ$$.

Тогда, $$angle ABD + \angle DBE = \angle ABE$$.

Так как треугольники ABD и CBE равны, то $$angle ABD = \angle CBE$$. Тогда $$angle CBE + \angle DBE = \angle DBC$$.

Треугольник ABC равнобедренный, значит углы при основании равны: $$angle BAC = \angle BCA$$.

Итак, $$angle ADB = 180^\circ - (\angle A)$$.

Но мы не знаем величину угла A. Поэтому мы не можем точно вычислить угол ADB. Требуется дополнительная информация.

Однако, если $$\angle ABD = \angle CBE$$, то $$\angle ADB = \angle CEB$$.

А так как $$\angle CEB = 180 - 70 - \angle BCE$$, то $$\angle ADB = 110 - \angle BCE$$.

Ответ: Треугольник DBE равнобедренный. ∠ADB не может быть определен однозначно без дополнительной информации.