На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Общее количество способов рассадить пятерых человек за круглым столом.** За круглым столом важен порядок относительно друг друга, а не абсолютное положение. Поэтому общее количество способов рассадить \( n \) человек за круглым столом равно \( (n-1)! \). В нашем случае \( n = 5 \), поэтому количество способов равно \( (5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \). 2. **Рассмотрим благоприятные случаи, когда Паша сидит между двумя тёзками.** Паша может сидеть между двумя Машами или между двумя Сашами. 3. **Паша сидит между двумя Машами.** Представим, что две Маши и Паша образуют блок (М-П-М). Этот блок можно рассматривать как один объект. Тогда у нас остается Саша1, Саша2 и блок (М-П-М). Всего 3 объекта, которые можно рассадить за круглым столом \( (3-1)! = 2! = 2 \) способами. Но Маши могут поменяться местами в блоке (М-П-М), т.е. (М1-П-М2) или (М2-П-М1). Это дает 2 варианта. Итого, \( 2 \times 2 = 4 \) способа. 4. **Паша сидит между двумя Сашами.** Аналогично, представим, что два Саши и Паша образуют блок (С-П-С). Этот блок можно рассматривать как один объект. Тогда у нас остается Маша1, Маша2 и блок (С-П-С). Всего 3 объекта, которые можно рассадить за круглым столом \( (3-1)! = 2! = 2 \) способами. Но Саши могут поменяться местами в блоке (С-П-С), т.е. (С1-П-С2) или (С2-П-С1). Это дает 2 варианта. Итого, \( 2 \times 2 = 4 \) способа. 5. **Общее количество благоприятных случаев.** Суммируем случаи, когда Паша сидит между Машами и между Сашами: \( 4 + 4 = 8 \) благоприятных случаев. 6. **Вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками.** Вероятность равна отношению благоприятных случаев к общему количеству случаев: \( P = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \). Таким образом, вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками, равна \( \frac{1}{3} \). **Ответ:** \( \frac{1}{3} \)