На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки N и P так, что ∠ABN = ∠CDP (точка N лежит между точками A и P). Докажите, что BN = DP.

Так как ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD и AB = CD. Точки A, N, P лежат на одной прямой AC, поэтому AN ∥ DP не следует из условия; для доказательства используем треугольники ABN и CDP.

Из AB ∥ CD и коллинеарности A, N, P следует ∠BAN = ∠DCP: это углы между параллельными прямыми AB и CD и одной прямой AC. По условию ∠ABN = ∠CDP. Следовательно, △ABN и △CDP подобны по двум углам. При соответствии вершин B ↔ D, A ↔ C, N ↔ P сторона AB соответствует CD. Поскольку AB = CD, коэффициент подобия равен 1, значит соответствующие стороны BN и DP равны.

Следовательно, BN = DP.