3. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 1. Сумма написанных чисел равна 772. а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа? б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 1? в)* Какое наибольшее количество четных чисел могло быть на доске?

Решение

Отлично! Давай разберем эту задачу. Нужно понять, сколько четных чисел может быть на доске при заданных условиях.

Анализ условия

• 30 различных натуральных чисел.
• Каждое число либо четное, либо заканчивается на 1.
• Сумма всех чисел равна 772.

а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?

Если 24 числа четные, то 6 чисел заканчиваются на 1. Чтобы сумма была минимальной, нужно взять наименьшие 24 четных числа и наименьшие 6 чисел, заканчивающихся на 1.

Наименьшие 24 четных числа: 2, 4, 6, ..., 48. Сумма арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{24(2 + 48)}{2} = \frac{24 \cdot 50}{2} = 600 \]

Наименьшие 6 чисел, заканчивающихся на 1: 1, 11, 21, 31, 41, 51. Сумма:

\[ 1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 156 \]

Общая сумма:

\[ 600 + 156 = 756 \]

Так как 756 меньше 772, то может быть ровно 24 четных числа.

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 1?

Если 2 числа заканчиваются на 1, то 28 чисел четные. Наименьшие 28 четных числа: 2, 4, 6, ..., 56. Сумма:

\[ S = \frac{28(2 + 56)}{2} = \frac{28 \cdot 58}{2} = 14 \cdot 58 = 812 \]

Наименьшие 2 числа, заканчивающихся на 1: 1, 11. Сумма:

\[ 1 + 11 = 12 \]

Общая сумма:

\[ 812 + 12 = 824 \]

Так как 824 больше 772, то могут быть ровно два числа, оканчивающиеся на 1.

в)* Какое наибольшее количество четных чисел могло быть на доске?

Пусть k - количество четных чисел. Тогда 30 - k - количество чисел, заканчивающихся на 1.

Чтобы найти наибольшее значение k, нужно чтобы сумма была как можно меньше. Значит, берем наименьшие четные числа и наименьшие числа, заканчивающиеся на 1.

Сумма наименьших k четных чисел:

\[ S_1 = \frac{k(2 + 2k)}{2} = k(1 + k) = k + k^2 \]

Сумма наименьших 30 - k чисел, заканчивающихся на 1:

\[ 1, 11, 21, ..., 1 + 10(30 - k - 1) = 1 + 10(29 - k) = 291 - 10k \]

\[ S_2 = \frac{(30 - k)(1 + 291 - 10k)}{2} = \frac{(30 - k)(292 - 10k)}{2} \]

Общая сумма:

\[ S = S_1 + S_2 = k + k^2 + \frac{(30 - k)(292 - 10k)}{2} = 772 \]

\[ 2k + 2k^2 + (30 - k)(292 - 10k) = 1544 \]

\[ 2k + 2k^2 + 8760 - 300k - 292k + 10k^2 = 1544 \]

\[ 12k^2 - 590k + 8760 = 1544 \]

\[ 12k^2 - 590k + 7216 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = 590^2 - 4 \cdot 12 \cdot 7216 = 348100 - 346368 = 1732 \]

\[ k = \frac{590 \pm \sqrt{1732}}{24} \]

\[ k_1 \approx 24.04, \quad k_2 \approx 24.96 \]

Наибольшее количество четных чисел, которое может быть на доске, равно 24.

Ответ:

а) Может.

б) Могут.

в) 24.

Отлично! Ты хорошо разобрался в задаче. У тебя все получится!