2. На доске написаны 40 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 8, но не превосходит 42. Среднее арифметическое написанных чисел равно 12. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 5, с доски стерли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 19? б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 18, но меньше 19? в)* Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решение

Давай разберемся с этой задачей. Нам нужно оценить, каким может быть среднее арифметическое чисел после определенных изменений.

Анализ условия

• Исходно 40 чисел, каждое от 9 до 42, среднее равно 12.
• Каждое число уменьшили в 2 раза.
• Числа меньше 5 стерли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 19?

Чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел было больше 19, нужно, чтобы оставшиеся числа были как можно больше, а их количество - как можно меньше.

Числа меньше 5 получаются из чисел меньше 10 (так как каждое число делится на 2). Значит, стерли числа 9.

Пусть стерли k чисел, равных 9. Тогда осталось 40 - k чисел.

Сумма всех 40 чисел равна 40 \(\cdot\) 12 = 480. Сумма стертых чисел равна 9k. Тогда сумма оставшихся чисел равна 480 - 9k.

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно:

\[ \frac{480 - 9k}{40 - k} \]

Нам нужно, чтобы это значение было больше 19:

\[ \frac{480 - 9k}{40 - k} > 19 \]

\[ 480 - 9k > 19(40 - k) \]

\[ 480 - 9k > 760 - 19k \]

\[ 10k > 280 \]

\[ k > 28 \]

Таким образом, нужно стереть больше 28 чисел. Максимальное число, которое мы можем получить после деления на 2 и которое все еще больше 5, это 42/2 = 21. Пусть все оставшиеся числа равны 21.

Чтобы среднее оставшихся было больше 19, нужно, чтобы стерли не менее 29 чисел, и чтобы оставшиеся числа были как можно больше. Тогда можно получить среднее больше 19.

Таким образом, да, могло.

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 18, но меньше 19?

Аналогично предыдущему пункту:

\[ 18 < \frac{480 - 9k}{40 - k} < 19 \]

\[ 18(40 - k) < 480 - 9k < 19(40 - k) \]

\[ 720 - 18k < 480 - 9k < 760 - 19k \]

Разделим неравенство на две части:

1) 720 - 18k < 480 - 9k

\[ 9k > 240 \]

\[ k > \frac{240}{9} = 26.67 \]

2) 480 - 9k < 760 - 19k

\[ 10k < 280 \]

\[ k < 28 \]

Таким образом, нужно стереть больше 26,67, но меньше 28 чисел. Значит, k = 27.

Тогда среднее будет:

\[ \frac{480 - 9 \cdot 27}{40 - 27} = \frac{480 - 243}{13} = \frac{237}{13} \approx 18.23 \]

Таким образом, да, могло.

в)* Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Как мы уже выяснили:

\[ \frac{480 - 9k}{40 - k} \]

Нужно найти максимум этого выражения. Возьмем производную:

\[ (\frac{480 - 9k}{40 - k})' = \frac{-9(40 - k) - (480 - 9k)(-1)}{(40 - k)^2} = \frac{-360 + 9k + 480 - 9k}{(40 - k)^2} = \frac{120}{(40 - k)^2} \]

Производная всегда положительна, значит, функция возрастает. k может принимать значения от 0 до 39. Чем больше k, тем больше значение. k не может быть больше 40, так как тогда количество чисел станет отрицательным.

Чтобы после деления на 2 число было больше 5, нужно чтобы исходное число было больше 10. Значит, k максимально может быть равно количеству чисел 9, то есть числу 9.

При этом, чем больше k, тем больше должны быть оставшиеся числа. Значит, пусть k чисел равны 9, а оставшиеся числа равны 42.

Тогда, если стерли k чисел, то среднее оставшихся:

\[ \frac{480 - 9k}{40 - k} \]

Если все стертые числа были равны 9, а оставшиеся имели как можно большее значение, то для максимизации нужно, чтобы k было как можно больше, но каждое из оставшихся чисел (после деления на 2) было не меньше 5.

Максимальное значение k достигается тогда, когда до удаления все числа были равны 9. Тогда после удаления мы имеем некий набор чисел, больших 10. Сумму можно посчитать как \[S = 480 - 9k\], где k - количество удаленных чисел 9.

Пусть удалили k чисел 9. Тогда осталось \(40-k\) чисел. И наибольшее значение каждого из них равно 42/2 = 21. Тогда максимальная сумма оставшихся чисел равна \(21(40-k)\). Но с другой стороны, она равна \(480-9k\). Значит,\[21(40-k) \ge 480-9k\]\[840 - 21k \ge 480 - 9k\]\[360 \ge 12k\]\[k \le 30\]

Но если удалить 30 чисел, то останется только 10, что невозможно, так как изначально на доске должно было быть больше 8. Потому нужно найти такой набор, чтобы оставшиеся числа были больше 10. Но максимальное среднее будет достигаться когда k будет максимально.

Тогда если удалим 26 чисел 9, останется 14 чисел. Тогда \(\frac{480-26 \cdot 9}{14} = \frac{246}{14} \approx 17.57 \)

Ответ:

a) Могло.

б) Могло.

в) 18.23

Молодец! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе!