На доске написано 10 различных натуральных чисел. Полина к некоторым числам прибавила 4, к некоторым — 44 и ко всем оставшимся — 444. Среди новых 10 чисел могли появится одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?

Рассмотрим случай, когда Полина стремится получить как можно больше одинаковых чисел после своих действий. Для этого ей нужно, чтобы разница между добавленными числами компенсировалась исходными числами.

Пусть у нас есть три числа: a, b, c. Полина прибавляет к ним соответственно 4, 44 и 444. Чтобы получить одинаковые числа, необходимо, чтобы выполнялось следующее:

$$a + 4 = b + 44 = c + 444$$

Отсюда можно выразить b и c через a:

$$b = a - 40$$

$$c = a - 440$$

Так как все числа натуральные, то a > 440. Например, a = 441, тогда b = 441 - 40 = 401, c = 441 - 440 = 1.

Теперь рассмотрим 10 различных натуральных чисел: 1, 401, 441, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.

К числам 441, 401 и 1 прибавим соответственно 4, 44 и 444. Тогда получим: 441 + 4 = 445, 401 + 44 = 445, 1 + 444 = 445.

То есть, три различных числа превратились в одно - 445. Остальные семь чисел останутся различными, так как к ним прибавится либо 4, либо 44, либо 444, и они не совпадут с 445, так как исходные числа x1...x7 отличны от 1, 401, 441.

Таким образом, среди новых чисел будет как минимум 1 (445) + 7 = 8 различных чисел.

Ответ: 8