На доске написаны числа (1, 2^2, 3^2 ... 101^2). Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не останется единственное число. Определи наименьшее значение, которое Аня сможет получить.

Здравствуйте, ученики! Давайте разберемся с этой интересной задачей. Понимание задачи: У нас есть последовательность квадратов чисел от 1 до 101. Аня выбирает два числа, стирает их и записывает их разность. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется только одно число. Наша цель – найти наименьшее возможное значение этого последнего числа. Решение: Заметим, что если мы возьмем два соседних квадрата, то их разность можно выразить так: ((n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1) Это всегда нечетное число. Таким образом, мы можем получить нечетное число, стирая два соседних квадрата и заменяя их разностью. Рассмотрим два случая: 1. Четное количество чисел: Если у нас четное количество чисел, мы можем попарно стирать соседние квадраты, получая нечетные числа. После каждой такой операции количество чисел уменьшается на 1. Если в конце останется одно число, то оно будет нечетным. 2. Нечетное количество чисел: Если у нас нечетное количество чисел, после нескольких операций стирания останется одно четное число. Значит, остаток может быть четным числом. В нашей задаче у нас 101 число, что является нечетным числом. Анализ наименьшего значения: Чтобы получить наименьшее возможное значение, нам нужно свести все числа к небольшим значениям. Заметим, что если мы стираем два числа (a) и (b) и заменяем их на (|a - b|), то сумма всех чисел на доске изменится на (-a - b + |a - b|). Если (a > b), то изменение будет (-a - b + a - b = -2b). Рассмотрим такую стратегию: будем стирать попарно числа, начиная с больших. В конце у нас останется одно число. Один из вариантов получить минимальное число: Если у нас есть числа (1^2, 2^2, 3^2, ..., 101^2). (1, 4, 9, 16, 25, ..., 10201). Начнем стирать их попарно и находить разности: (|1 - 4| = 3) (|9 - 16| = 7) (|25 - 36| = 11) И так далее. Однако, есть способ лучше: давайте посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся свести все числа к 0 или 1. Если мы сможем сделать так, чтобы осталось только одно число 1, то это будет наименьшее возможное значение. Поскольку у нас 101 число (нечетное количество), предположим, что после нескольких операций у нас останется число 1. Наименьшее значение, которое может получить Аня, это 1. Ответ: 1