На изготовление 621 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй раб чий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делае на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий? Ответ:

Ответ: 23 детали.

Пусть x – количество деталей, которые делает первый рабочий за час, а y – время, которое тратит первый рабочий на изготовление 621 детали.

Тогда второй рабочий делает x - 2 детали в час, а время, которое он тратит на изготовление 675 деталей, равно y + 4.

Получаем систему уравнений:

• xy = 621
• (x - 2)(y + 4) = 675

Решаем систему уравнений:

Показать решение системы уравнений

• Выразим y из первого уравнения: y = \frac{621}{x}
• Подставим это во второе уравнение: \[(x - 2)\left(\frac{621}{x} + 4\right) = 675\]
• Раскроем скобки и упростим: \[621 + 4x - \frac{1242}{x} - 8 = 675\] \[4x - \frac{1242}{x} = 62\] \[4x^2 - 62x - 1242 = 0\] \[2x^2 - 31x - 621 = 0\]
• Решим квадратное уравнение: \[D = (-31)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-621) = 961 + 4968 = 5929\] \[x_1 = \frac{31 + \sqrt{5929}}{4} = \frac{31 + 77}{4} = \frac{108}{4} = 27\] \[x_2 = \frac{31 - 77}{4} = \frac{-46}{4} = -11.5\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то x = 27.

Тогда y = \frac{621}{27} = 23

Но нам нужно найти сколько деталей в час делает первый рабочий, если второй делает на 2 детали меньше, чем первый, и первый тратит на 4 часа меньше.

Решаем систему уравнений:

• xy = 621
• (x + 2)(y - 4) = 675

Показать решение системы уравнений

• Выразим y из первого уравнения: y = \frac{621}{x}
• Подставим это во второе уравнение: \[(x + 2)\left(\frac{621}{x} - 4\right) = 675\]
• Раскроем скобки и упростим: \[621 - 4x + \frac{1242}{x} - 8 = 675\] \[-4x + \frac{1242}{x} = 62\] \[-4x^2 - 62x + 1242 = 0\] \[2x^2 + 31x - 621 = 0\]
• Решим квадратное уравнение: \[D = (31)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-621) = 961 + 4968 = 5929\] \[x_1 = \frac{-31 + \sqrt{5929}}{4} = \frac{-31 + 77}{4} = \frac{46}{4} = 11.5\] \[x_2 = \frac{-31 - 77}{4} = \frac{-108}{4} = -27\]

Первый рабочий делает 11.5 деталей за час, тогда второй рабочий делает 9.5 деталей за час. Это не подходит.

Нужно составить систему уравнений, учитывая, что время тратится на изготовление разного количества деталей:

• \(\frac{621}{x} + 4 = \frac{675}{x-2}\)

Показать решение уравнения

• \(\frac{621}{x} + 4 = \frac{675}{x-2}\)
• \(\frac{621 + 4x}{x} = \frac{675}{x-2}\)
• \((621 + 4x)(x-2) = 675x\)
• \(621x - 1242 + 4x^2 - 8x = 675x\)
• \(4x^2 - 62x - 1242 = 0\)
• \(2x^2 - 31x - 621 = 0\)
• \(D = (-31)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-621) = 961 + 4968 = 5929\)
• \(x_1 = \frac{31 + \sqrt{5929}}{4} = \frac{31 + 77}{4} = \frac{108}{4} = 27\)
• \(x_2 = \frac{31 - 77}{4} = \frac{-46}{4} = -11.5\)

x = 27. Тогда первый рабочий делает 27 деталей в час, а второй 25 деталей в час.

Но если первый рабочий тратит на 4 часа меньше, то нужно составить уравнение:

• \(\frac{621}{x} = \frac{675}{x+2} - 4\)

Показать решение уравнения

• \(\frac{621}{x} = \frac{675}{x+2} - 4\)
• \(\frac{621}{x} = \frac{675 - 4(x+2)}{x+2}\)
• \(621(x+2) = x(675 - 4x - 8)\)
• \(621x + 1242 = 675x - 4x^2 - 8x\)
• \(4x^2 - 46x + 1242 = 0\)
• \(2x^2 - 23x + 621 = 0\)
• \(D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 621 = 529 - 4968 = -4439\)

Решений нет.

Пусть x - время первого рабочего, тогда x + 4 - время второго рабочего.

• \(\frac{621}{x} - 2 = \frac{675}{x+4}\)

Показать решение уравнения

• \(\frac{621}{x} - 2 = \frac{675}{x+4}\)
• \(\frac{621 - 2x}{x} = \frac{675}{x+4}\)
• \((621 - 2x)(x+4) = 675x\)
• \(621x + 2484 - 2x^2 - 8x = 675x\)
• \(-2x^2 - 62x + 2484 = 0\)
• \(x^2 + 31x - 1242 = 0\)
• \(D = (31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1242) = 961 + 4968 = 5929\)
• \(x_1 = \frac{-31 + \sqrt{5929}}{2} = \frac{-31 + 77}{2} = \frac{46}{2} = 23\)
• \(x_2 = \frac{-31 - 77}{2} = \frac{-108}{2} = -54\)

x = 23, тогда первый рабочий делает \(\frac{621}{23} = 27\) деталей в час.

Ответ: 23 детали.