12. На какое наибольшее количество различных прямоугольников с целыми сторонами можно разрезать по линиям сетки квадрат 5Х5?

Квадрат 5х5 состоит из 25 клеток. Различные прямоугольники с целыми сторонами, на которые можно разрезать квадрат 5х5:

1. 1х1 (25 штук)
2. 1х2 (20 штук)
3. 1х3 (15 штук)
4. 1х4 (10 штук)
5. 1х5 (5 штук)
6. 2х1 (20 штук)
7. 2х2 (16 штук)
8. 2х3 (12 штук)
9. 2х4 (8 штук)
10. 2х5 (4 штуки)
11. 3х1 (15 штук)
12. 3х2 (12 штук)
13. 3х3 (9 штук)
14. 3х4 (6 штук)
15. 3х5 (3 штуки)
16. 4х1 (10 штук)
17. 4х2 (8 штук)
18. 4х3 (6 штук)
19. 4х4 (4 штуки)
20. 4х5 (2 штуки)
21. 5х1 (5 штук)
22. 5х2 (4 штуки)
23. 5х3 (3 штуки)
24. 5х4 (2 штуки)
25. 5х5 (1 штука)

Всего:

$$ 25+20+15+10+5+20+16+12+8+4+15+12+9+6+3+10+8+6+4+2+5+4+3+2+1=240 $$

Однако, если считать только различные прямоугольники (то есть 1х2 и 2х1 не различать), то их количество будет меньше.

Различные прямоугольники:

$$ 1х1, 1х2, 1х3, 1х4, 1х5, 2х2, 2х3, 2х4, 2х5, 3х3, 3х4, 3х5, 4х4, 4х5, 5х5 $$

Их количество 15.

Ответ: 15