На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$x^2 - 6x - 27 \le 0$$?

Для решения неравенства $$x^2 - 6x - 27 \le 0$$, сначала найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 6x - 27 = 0$$.

Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом.

Через дискриминант:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$$

$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Итак, корни уравнения: $$x_1 = 9$$ и $$x_2 = -3$$.

Теперь рассмотрим координатную прямую. Отметим на ней точки -3 и 9. Так как неравенство нестрогое ($$\le$$), точки будут закрашенными (включены в решение).

Координатная прямая:

`----[-3]----[9]----> X`

Теперь нужно определить знаки выражения $$x^2 - 6x - 27$$ на каждом из интервалов: $$(-\infty; -3]$$, $$[-3; 9]$$ и $$[9; +\infty)$$.

1. Возьмем $$x = -4$$ (из интервала $$(-\infty; -3]$$):

$$(-4)^2 - 6 \cdot (-4) - 27 = 16 + 24 - 27 = 13 > 0$$

2. Возьмем $$x = 0$$ (из интервала $$[-3; 9]$$):

$$0^2 - 6 \cdot 0 - 27 = -27 < 0$$

3. Возьмем $$x = 10$$ (из интервала $$[9; +\infty)$$)

$$10^2 - 6 \cdot 10 - 27 = 100 - 60 - 27 = 13 > 0$$

Таким образом, неравенство $$x^2 - 6x - 27 \le 0$$ выполняется на интервале $$[-3; 9]$$.

На координатной прямой это выглядит как отрезок между точками -3 и 9, включая эти точки.

Сравнивая с предложенными вариантами ответов, видим, что этому условию соответствует рисунок 4.