На каждой из граней двугранного угла, линейный угол которого 60°, расположены равнобедренные прямоугольные треугольники ABC и DBC с общей гипотенузой BC, лежащей на ребре угла. BC = 3 см. Рассчитай расстояние между вершинами A и D.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. **1. Анализ условия** * У нас есть двугранный угол, линейный угол которого равен 60°. Это означает, что угол между плоскостями, содержащими треугольники ABC и DBC, равен 60°. * ABC и DBC - равнобедренные прямоугольные треугольники, и BC - их общая гипотенуза, равная 3 см. * Нам нужно найти расстояние между точками A и D (AD). **2. Нахождение катетов** Так как треугольники равнобедренные и прямоугольные, то их катеты равны. Обозначим катеты каждого треугольника через *x*. Тогда по теореме Пифагора: (x^2 + x^2 = 3^2) (2x^2 = 9) (x^2 = \frac{9}{2}) (x = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}) см. Таким образом, катеты треугольников равны (\frac{3\sqrt{2}}{2}) см. **3. Нахождение проекции AD на плоскость, содержащую BC** Пусть M - середина BC. Тогда AM и DM - медианы и высоты равнобедренных прямоугольных треугольников ABC и DBC. Значит, AM = DM = (\frac{3\sqrt{2}}{2}) см. Угол AMD равен 60° (линейный угол двугранного угла). **4. Применение теоремы косинусов** Рассмотрим треугольник AMD. Используем теорему косинусов, чтобы найти AD: (AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 cdot AM cdot DM cdot \cos{60°}) (AD^2 = (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 - 2 cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} cdot \frac{1}{2}) (AD^2 = \frac{9 cdot 2}{4} + \frac{9 cdot 2}{4} - 2 cdot \frac{9 cdot 2}{4} cdot \frac{1}{2}) (AD^2 = \frac{18}{4} + \frac{18}{4} - \frac{18}{4}) (AD^2 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}) (AD = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}) см. **Ответ:** (AD = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12) см. **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть книга, и ты её открыл. Каждый разворот книги - это грань двугранного угла. Угол между этими разворотами (гранями) - 60°. На каждом развороте нарисованы одинаковые треугольники. Нам нужно найти расстояние между вершинами этих треугольников, которые не лежат на общей линии (корешке книги). Мы нашли, что катеты треугольников одинаковы и посчитали их длину. Затем, рассмотрели треугольник, образованный вершинами и серединой общей стороны. В итоге, с помощью теоремы косинусов, мы нашли расстояние между нужными нам вершинами. Ответ получился примерно 2.12 см. AD = \frac{3\sqrt{2}}{2} см.