На клетчатой бумаге изображены окружности и связанные с ними углы. По данным рисунка 267 найдите величину угла ABC.

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть каждый случай отдельно и определить тип угла ABC, а затем, исходя из свойств углов, связанных с окружностью, найти его величину. a) Угол ABC – вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Центр окружности O находится внутри этого угла. Если угол AOC – центральный угол, опирающийся на ту же дугу AC, то величина угла ABC равна половине величины угла AOC. Угол AOC – прямой (90 градусов), так как стороны проходят по диагоналям двух клеток. Следовательно, угол ABC равен 45 градусам. $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} cdot 90^\circ = 45^\circ $$ б) Угол ABC – вписанный угол, опирающийся на дугу AC. AC – диаметр окружности (проходит через центр O). Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом. Следовательно, угол ABC равен 90 градусам. $$ \angle ABC = 90^\circ $$ в) Угол ABC – вписанный угол, опирающийся на дугу AC. AC – сторона квадрата, состоящего из четырех клеток. Угол AOC – прямой (90 градусов). Следовательно, угол ABC равен 45 градусам. $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} cdot 90^\circ = 45^\circ $$ г) Угол ABC – вписанный угол, опирающийся на дугу AC. AC – хорда, стягивающая дугу. Угол AOC составляет 270 градусов, так как угол, который не содержит точку B, равен 90 градусов. Следовательно, угол ABC равен половине величины угла AOC. $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} cdot 90^\circ = 45^\circ $$ д) Угол ABC – угол между касательной BC и хордой AB. Этот угол равен половине центрального угла, опирающегося на хорду AB. Центральный угол AOB равен 90 градусам (стороны угла проходят по диагоналям двух клеток). Следовательно, угол ABC равен половине угла AOB, то есть 45 градусов. $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} cdot 90^\circ = 45^\circ $$ e) Угол ABC – угол между секущей BA и касательной BC. В данном случае определить угол ABC напрямую сложно. Можно рассмотреть угол между хордой AB и касательной BC, который равен половине центрального угла, опирающегося на хорду AB. Заметим, что угол, образованный хордой AB и диаметром, равен 45 градусам. Тогда угол ABC равен 135 градусам. $$ \angle ABC = 135^\circ $$ ж) Угол ABC – угол между секущими AB и CB. Центральный угол, опирающийся на хорду AC, равен 90 градусам. Угол между секущими AB и CB, образованный вне окружности, равен полуразности угловых величин дуг, заключенных между секущими. Угол ABC равен 45 градусам. $$ \angle ABC = 45^\circ $$ Ответ: * a) 45° * б) 90° * в) 45° * г) 45° * д) 45° * e) 135° * ж) 45°