На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник АВС. Найдите cos ∠A.

По рисунку определим длины сторон треугольника ABC. Пусть сторона, противолежащая углу A, будет a, сторона, противолежащая углу B, будет b, и сторона, противолежащая углу C, будет c.

По клеточкам посчитаем длины сторон. \( a = BC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \), \( b = AC = 5 \), \( c = AB = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \)

Шаг 1: Применим теорему косинусов для угла A:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos \angle A \)

Шаг 2: Выразим косинус угла A:

\( cos \angle A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)

Шаг 3: Подставим известные значения:

\( cos \angle A = \frac{5^2 + (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{10})^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{10}} = \frac{25 + 10 - 10}{10\sqrt{10}} = \frac{25}{10\sqrt{10}} = \frac{5}{2\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{20} = \frac{\sqrt{10}}{4} \)