На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС. A Ответ: C B

Для нахождения градусной меры угла ABC, можно воспользоваться теоремой косинусов.

Определим длины сторон треугольника ABC, считая, что размер клетки 1x1:

• AB = $$\sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
• BC = $$\sqrt{(2-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$$
• AC = $$\sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle ABC)$$ $$2 = 5 + 1 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 \cdot cos(\angle ABC)$$ $$2 = 6 - 2\sqrt{5} cos(\angle ABC)$$ $$2\sqrt{5} cos(\angle ABC) = 4$$ $$cos(\angle ABC) = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.894$$ $$\angle ABC = arccos(\frac{2\sqrt{5}}{5}) \approx 26.565^{\circ}$$

Так как точки расположены в узлах сетки 1x1, можно заметить, что угол ABC можно определить через тангенс угла.

Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B и точкой D с координатами (2,1). Тогда BD = 1 и AD = 1. Угол ABD - прямой, а угол DBC равен углу ABC.

Тогда тангенс угла ABC равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $$tg(\angle ABC) = \frac{AD}{BD} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Тогда угол ABC равен: $$\angle ABC = arctg(0.5) \approx 26.565^{\circ}$$

Ответ: 26.565