На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы угла А треугольника.

Ответ:

Разбираемся:

1. Определим координаты точек:
   • A(1, 1)
   • B(5, 4)
   • C(5, 1)
2. Длина стороны AC равна 4.
3. Длина стороны AB равна \(\sqrt{(5-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\).
4. По свойству биссектрисы, биссектриса угла A делит сторону BC в отношении, равном отношению длин сторон AB и AC. \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{4}\).
5. Пусть D(x, y) - точка на стороне BC, делящая ее в отношении 5:4. Тогда: \[x = \frac{5 \cdot 5 + 4 \cdot 5}{5 + 4} = \frac{45}{9} = 5\] \[y = \frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 4}{5 + 4} = \frac{5 + 16}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}\] Следовательно, D(5, \(\frac{7}{3}\)).
6. Длина биссектрисы AD равна: \[AD = \sqrt{(5-1)^2 + (\frac{7}{3}-1)^2} = \sqrt{16 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}\]

Ответ: \(\frac{4\sqrt{10}}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что точка D лежит на стороне BC и делит её в правильном отношении.

Уровень Эксперт: Знание свойств биссектрис и умение находить координаты точек в геометрии сильно упрощает решение задач.