На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины B.

Решение:

1. Определим координаты вершин треугольника, приняв вершину A за начало координат (0,0):

• A = (0, 0)


• B = (0, 3)


• C = (4, 1)

2. Медиана, выходящая из вершины B, соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC. Найдем координаты середины отрезка AC (точка M):

\[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( 2, \frac{1}{2} \right) \]

3. Найдем длину медианы BM, используя формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

Точки: B = (0, 3) и M = (2, 1/2).

\[ BM = \sqrt{(2 - 0)^2 + \left(\frac{1}{2} - 3\right)^2} = \sqrt{2^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2} \]

Ответ: \(\frac{\sqrt{41}}{2}\)