На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. (Координаты точек: A(1,1), B(3,5), C(7,3))

Решение:

Для начала найдем уравнение прямой ВС. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):

\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\)

Подставим координаты точек B(3,5) и C(7,3):

\(\frac{x - 3}{7 - 3} = \frac{y - 5}{3 - 5}\)

\(\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 5}{-2}\)

Умножим обе части на -2:

\(\frac{-2(x - 3)}{4} = y - 5\)

\(\frac{-(x - 3)}{2} = y - 5\)

\(-x + 3 = 2(y - 5)\)

\(-x + 3 = 2y - 10\)

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить уравнение в виде \(Ax + By + C = 0\):

\(x + 2y - 13 = 0\)

Теперь найдем расстояние от точки A(1,1) до прямой \(x + 2y - 13 = 0\). Формула расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\):

\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

Подставим координаты точки A(1,1) и коэффициенты прямой \(A=1, B=2, C=-13\):

\(d = \frac{|1\cdot1 + 2\cdot1 - 13|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\)

\(d = \frac{|1 + 2 - 13|}{\sqrt{1 + 4}}\)

\(d = \frac{|-10|}{\sqrt{5}}\)

\(d = \frac{10}{\sqrt{5}}\)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):

\(d = \frac{10\sqrt{5}}{5}\)

\(d = 2\sqrt{5}\)

Ответ: 2√5