На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Заметим, что длины звеньев «змейки» образуют арифметическую прогрессию. Длина первого звена равна 1, второго 2, третьего 3 и так далее. Общая длина змейки, у которой последнее звено длиной n, будет суммой арифметической прогрессии от 1 до n, т.е. \( \frac{n(n+1)}{2} \). Так как даны длины последнего звена, а не количество звеньев, то сначала надо определить количество звеньев в первом случае. Длина последнего звена 10. Значит количество звеньев равно 10, а их сумма = \( \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55 \) (это длина змейки с последним звеном 10). Второй случай, последнее звено равно 190. Значит всего звеньев 190. И длина змейки = \( \frac{190 \times (190 + 1)}{2} = \frac{190 \times 191}{2} = 95 \times 191 = 18145 \) Ответ: 18145