На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см построена окружность. Найди градусную меру угла \( \angle KQF \), если длина отрезка \( KF \) равна \( 4\sqrt{3} \) см.

Давай решим эту задачу по шагам. 1. Анализ условия задачи: - У нас есть окружность на клетчатой бумаге, где сторона клетки равна 1 см. - Дан отрезок \( KF \), длина которого равна \( 4\sqrt{3} \) см. - Нужно найти градусную меру угла \( \angle KQF \). 2. Определение типа угла \( \angle KQF \): - Угол \( \angle KQF \) является вписанным углом, так как его вершина \( Q \) лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках \( K \) и \( F \). 3. Связь между вписанным углом и дугой: - Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. То есть, \( \angle KQF = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } KF \). 4. Определение центра окружности и радиуса: - По рисунку видно, что центр окружности находится в точке \( O \), и он расположен в центре квадрата 4x4 клетки. Следовательно, радиус окружности \( R = 4 \) см. 5. Использование теоремы синусов для треугольника \( \triangle KOF \): - Рассмотрим треугольник \( \triangle KOF \). Он является равнобедренным, так как \( OK = OF = R = 4 \) см. Длина стороны \( KF = 4\sqrt{3} \) см. - Применим теорему синусов: \( \frac{KF}{\sin{\angle KOF}} = 2R \) - Подставим известные значения: \( \frac{4\sqrt{3}}{\sin{\angle KOF}} = 2 \cdot 4 \) - \( \frac{4\sqrt{3}}{\sin{\angle KOF}} = 8 \) - \( \sin{\angle KOF} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \angle KOF = \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 60^{\circ} \) или \( 120^{\circ} \) 6. Определение центрального угла \( \angle KOF \): - Так как \( KF = 4\sqrt{3} \), а радиус равен 4, угол \( \angle KOF \) не может быть равен \( 60^{\circ} \). Если бы он был равен \( 60^{\circ} \), то треугольник \( \triangle KOF \) был бы равносторонним и \( KF \) равнялось бы 4. Следовательно, \( \angle KOF = 120^{\circ} \). 7. Нахождение градусной меры дуги \( KF \): - Градусная мера дуги \( KF \) равна градусной мере центрального угла \( \angle KOF \), то есть \( \text{дуга } KF = 120^{\circ} \). 8. Нахождение градусной меры угла \( \angle KQF \): - \( \angle KQF = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } KF = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \) Ответ: \( \angle KQF = 60^{\circ} \)