На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что пятеро и них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверы знакомых среди собравшихся?

Ответ: Нет, такого не могло быть.

Пусть всего n учёных. Пятеро из них имеют по 3 знакомых, а остальные (n-5) имеют по 4 знакомых. Тогда общая сумма степеней вершин графа знакомств равна:

Сумма степеней всех вершин должна быть чётной, так как она равна удвоенному числу рёбер (знакомств). Следовательно, выражение 4n - 5 должно быть чётным. Однако, 4n всегда чётно, а значит, 4n - 5 всегда нечётно. Это противоречие показывает, что такое распределение знакомств невозможно.

Ответ: Нет, не могло.